Introducción
Las distribuciones de probabilidad son una parte importante del análisis de la incertidumbre de la medición, con la que las personas tienen dificultades constantemente. Hoy, mi objetivo es ayudarte a aprender más sobre las distribuciones de probabilidad sin tener que recurrir a un libro de texto de estadística. Aunque existen cientos de distribuciones de probabilidad que podrías usar, me centraré en las seis que necesitas conocer.
Si tienes dificultades constantes con las distribuciones de probabilidad, sigue leyendo. Te explicaré qué son, por qué son importantes y cómo pueden ayudarte a estimar la incertidumbre de la medición.
En esta guía, cubriré la siguiente información. Puedes avanzar haciendo clic en los enlaces a continuación.
- ¿Qué son las distribuciones de probabilidad ?
- Distribuciones de probabilidad comunes en el análisis de incertidumbre,
- Distribución normal
- Distribución rectangular
- Distribución triangular
- Distribución en forma de U
- Distribución de Rayleigh
- Distribución logarítmica normal
- Recomendaciones de la GUM , y
- Árboles y tablas de decisión de distribución de probabilidad
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Según la definición C.2.3 de JCGM 100:2008 , una distribución de probabilidad es una función que da la probabilidad (verosimilitud) de que una variable aleatoria tome cualquier valor dado o pertenezca a un conjunto dado de valores.
Mire la imagen a continuación para ver la definición de GUM.
Explicado de forma sencilla, las distribuciones de probabilidad son una función, tabla o ecuación que muestra la relación entre el resultado de un evento y su frecuencia de ocurrencia.
Las distribuciones de probabilidad son útiles porque pueden utilizarse como representación gráfica de las funciones de medición y su comportamiento. Al conocer el rendimiento pasado de la función de medición, se pueden predecir resultados futuros con mayor seguridad.
Antes de profundizar en los diferentes tipos de distribución de probabilidad, aprendamos un poco más sobre ellas. En los siguientes párrafos, explicaré algunas características que conviene conocer.
Histograma
Un histograma es una representación gráfica que se utiliza para comprender cómo se distribuyen los datos numéricos.
Observe la imagen a continuación. Es un histograma de una distribución gaussiana o normal.
Observa el histograma y observa cómo la mayoría de los datos recopilados se agrupan en el centro. Esto se denomina tendencia central.
Ahora observe la altura de cada barra en el histograma. La altura de las barras indica la frecuencia con la que ocurre el resultado que representan. Cuanto más alta sea la barra, mayor será la frecuencia de ocurrencia.
Oblicuidad
La asimetría es una medida de la simetría de las distribuciones de probabilidad. Observe la imagen a continuación para ver cómo las distribuciones de probabilidad pueden sesgarse hacia la izquierda o hacia la derecha.
Curtosis
La curtosis mide la agudeza y la cola en una distribución normal. Como se puede ver en la imagen a continuación, las distribuciones con colas más anchas tienen picos más pequeños, mientras que las distribuciones con picos más grandes tienen colas más estrechas. ¿Observa la relación?
¿Por qué es importante?
Sé que parece que te estoy haciendo leer más información de la que quieres saber, pero es importante conocer estos detalles para que puedas seleccionar la distribución de probabilidad adecuada que caracterice tus datos.
Si no está seguro de cómo se distribuyen sus datos, cree un histograma de sus datos y compárelo con las siguientes distribuciones de probabilidad.
Distribuciones de probabilidad para la incertidumbre de la medición
Ahora que sabe qué es una distribución de probabilidad, aprendamos más sobre los diferentes tipos de distribuciones. Las distribuciones de probabilidad más utilizadas para estimar la incertidumbre de la medición son:
- Normal,
- Rectangular,
- Triángulo,
- En forma de U,
- Log-Normal, y
- Rayleigh
En las siguientes secciones, aprenderá más sobre cada una de estas distribuciones. Abordaré la información general necesaria para estimar la incertidumbre de medición.
Después de leer este artículo, debería poder identificar qué distribuciones de probabilidad debería utilizar en su presupuesto de incertidumbre y cómo convertir sus contribuyentes de incertidumbre en equivalentes de desviación estándar (un paso fundamental para estimar la incertidumbre).
Distribución gaussiana (también conocida como distribución normal)
Descripción
La distribución normal es una función que representa la distribución de muchas variables aleatorias como un gráfico simétrico en forma de campana donde el pico está centrado alrededor de la media y se distribuye simétricamente de acuerdo con la desviación estándar.
Esto significa que es más probable que los resultados ocurran cerca de la media o el promedio y dispersos en torno a la media, mientras que es menos probable que ocurran resultados más alejados de la media.
La distribución normal es la distribución de probabilidad más comúnmente utilizada para evaluar datos de incertidumbre tipo A. Si no sabe qué es la incertidumbre tipo A, son los datos que recopila de pruebas experimentales, como pruebas de repetibilidad , reproducibilidad y estabilidad.
Para comprenderlo mejor, imagine que va a recopilar 100 muestras de medición y crear un histograma con sus resultados. El histograma de sus datos debe tener una forma similar a una distribución normal.
Según el Teorema del Límite Central , cuantos más datos recopile, más se parecerá su histograma a una distribución normal.
Ahora bien, no espero que recopile 100 muestras cada vez que realice una prueba de repetibilidad y reproducibilidad. En cambio, le recomiendo que comience recolectando de 20 a 30 muestras para cada prueba de repetibilidad. Esto le proporcionará una buena base inicial y le permitirá caracterizar sus datos con una distribución normal.
Divisor para distribución normal
Para convertir una incertidumbre con distribución normal a su equivalente con desviación estándar, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Divida la incertidumbre estimada (U i ) entre su factor de cobertura (k).
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
k = factor de cobertura
El valor del factor de cobertura depende del nivel de confianza asociado a la estimación de la incertidumbre. En el Apéndice G del JCGM 100:2008, la Tabla G.1 le ayudará a determinar el factor de cobertura asociado a un nivel de confianza específico.
Mire la imagen a continuación para ver la Tabla G.1 de la GUM.
De la tabla se puede ver que una desviación estándar de una prueba de repetibilidad tendría un nivel de confianza del 68,27 % y un factor de cobertura de k = 1.
Además, encontrará que la incertidumbre en sus informes de calibración tiene un nivel de confianza del 95,45 % y un factor de cobertura de k = 2.
Ejemplo de incertidumbre estándar para una distribución normal
Ejemplo 1: Desviación estándar de la prueba de repetibilidad
Por ejemplo, si recolecta 20 muestras para una prueba de repetibilidad y calcula la desviación estándar, el factor de cobertura (k) es 1. Es igual a 1 porque su desviación estándar se expresa en el nivel de confianza de 1 sigma (es decir, 68,27 % IC).
Entonces, si su desviación estándar es 1 mg, la dividiría por un factor de cobertura de 1 y su incertidumbre estándar sería igual a 1 mg.
El resultado no tendría ninguna reducción de valor porque ya es igual a una desviación estándar.
Mire la imagen a continuación para ver un ejemplo del cálculo.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel , deberá utilizar la siguiente fórmula:
Ejemplo 2: Incertidumbre expandida de un informe de calibración
Para el siguiente ejemplo, imagine que está evaluando la incertidumbre de medición de su informe de calibración. La incertidumbre reportada debe expresarse con un intervalo de confianza del 95%, donde k es igual a 2.
Si la incertidumbre de calibración informada en su certificado es 1 mg, entonces deberá dividirla por el factor de cobertura de 2. La incertidumbre estándar resultante sería igual a 0,5 mg.
Mire la imagen a continuación para ver un ejemplo del cálculo.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Distribución rectangular (también conocida como uniforme)
Descripción
La distribución rectangular es una función que representa una distribución uniforme y continua con probabilidad constante. En una distribución rectangular, todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir .
La distribución rectangular es la distribución de probabilidad más utilizada en el análisis de incertidumbre. Si se pregunta por qué, es porque abarca la mayoría de los factores de incertidumbre donde el evaluador dice: "No estoy seguro de cómo se distribuyen los datos".
Cuando no esté seguro de cómo se distribuyen sus datos, es mejor evaluarlos de manera conservadora.
En esta situación, la distribución rectangular es una excelente opción predeterminada, por lo que la mayoría de los evaluadores de la norma ISO/IEC 17025 la recomiendan. Por lo tanto, recuerde usar la distribución rectangular, ya que la usará con frecuencia.
Divisor para distribución rectangular
Para convertir una incertidumbre con distribución rectangular a su equivalente en desviación estándar, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Divida la incertidumbre estimada (U i ) entre la raíz cuadrada de tres (3).
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
Como alternativa, puede encontrarse con una distribución rectangular donde se cree que el valor (x i ) es el punto medio de la distribución (o la mitad de la distribución). En este caso, divida la incertidumbre estimada (U i ) por dos veces la raíz cuadrada de tres (3).
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
De lo contrario, se podría dividir la incertidumbre (U i ) por la raíz cuadrada de doce (12). Matemáticamente, el resultado es el mismo.
Ejemplo de incertidumbre estándar para una distribución rectangular
Ejemplo 1: Resolución de un equipo de medición
Por ejemplo, si tiene un multímetro digital con una resolución de 1 mV, entonces caracterizaría la resolución del instrumento con una distribución rectangular y convertiría la incertidumbre (U i ) en una incertidumbre estándar (u i ) dividiendo la incertidumbre por la raíz cuadrada de tres.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Ejemplo 2: Resolución media de un equipo de medición
Ahora, imagina un multímetro digital con una resolución de 1 mV y quieres considerar la incertidumbre (U i ) como la mitad de la resolución (0,5R).
Luego, caracterice la resolución del instrumento con una distribución rectangular y convierta la incertidumbre (U i ) en una incertidumbre estándar (u i ) dividiendo la incertidumbre por la raíz cuadrada de doce.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Distribución triangular
Descripción
La distribución triangular es una función que representa un valor mínimo, máximo y central estimado conocido .
Al igual que la distribución rectangular, la distribución triangular se conoce como distribución de "desconocimiento". Quizás no sepas dónde se encuentra el valor (x i ) dentro del intervalo, pero crees que está más cerca de la media (o centro del intervalo) que de los límites.
Según la JCGM 100:2008, se recomienda como alternativa a la distribución rectangular porque es una expectativa más realista.
Cubriré más sobre esto más adelante en la siguiente sección sobre recomendaciones de GUM .
Divisor para distribución triangular
Para convertir una incertidumbre con una distribución triangular a su equivalente en desviación estándar, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Divida la incertidumbre estimada (U i ) entre la raíz cuadrada de seis (6).
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
Ejemplo de incertidumbre estándar para una distribución triangular
Ejemplo 1: Especificación del fabricante
Por ejemplo, si está utilizando una masa calibrada con un error máximo permisible (MPE) de 1 mg, entonces podría caracterizar la incertidumbre con una distribución triangular y convertir la incertidumbre (U i ) en una incertidumbre estándar (u i ) dividiendo la incertidumbre por la raíz cuadrada de seis.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Distribución en forma de U
Descripción
La distribución en forma de U es una función que representa los resultados con mayor probabilidad de ocurrir en los extremos del rango . La distribución tiene la forma de una U, pero no necesariamente tiene que ser simétrica.
La distribución en forma de U es útil cuando los eventos ocurren con frecuencia en los extremos del rango.
Considere el termostato que controla la temperatura de su laboratorio. Normalmente, la mayoría de los controladores de termostato solo intentan controlar la temperatura iniciando y deteniendo el sistema de climatización en los extremos del rango.
Ejemplo de temperatura para distribución en forma de U
Por ejemplo, imagine que el termostato de su laboratorio está configurado a 20 °C y controla la temperatura con una precisión de ±1 °C. Lo más probable es que el termostato no active el sistema de climatización hasta que la temperatura del laboratorio alcance los 19 °C o los 21 °C. Esto significa que su laboratorio no suele estar a 20 °C. En cambio, la temperatura de su laboratorio se mantiene dentro de los límites del termostato antes de activarse o desactivarse.
Por este motivo, podría caracterizar los datos de temperatura de su laboratorio utilizando una distribución en forma de U. Sin embargo, la mayoría de las personas prefieren utilizar una distribución rectangular o triangular para las incertidumbres relacionadas con la temperatura ambiental.
Ejemplo de potencia de RF para distribución en forma de U
Otro ejemplo común del uso de una distribución en forma de U es la incertidumbre de desajuste en las funciones de medición de RF/microondas.
Mire la imagen a continuación para ver la tabla de distribuciones de probabilidad recomendadas de la Guía de Keysight: “Fundamentos de las mediciones de potencia de RF y microondas (Parte 3) ”.
La tabla anterior también incluye recomendaciones para la distribución de Rayleigh. La abordaré con más detalle en la siguiente sección.
Divisor para distribución en forma de U
Para convertir una incertidumbre con una distribución en forma de U a una desviación estándar equivalente, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Divida la incertidumbre estimada (Ui) entre la raíz cuadrada de dos (2).
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
Ejemplo de incertidumbre estándar para una distribución en forma de U
Ejemplo 1: Incertidumbre por desajuste
Imagine que utiliza un sensor de potencia de RF para medir la potencia de salida de un generador de señales. Si la incertidumbre de desajuste entre el sensor y la fuente se estima en 1 µW, caracterícela con una distribución en forma de U y conviértala ( U₃ ) en incertidumbre estándar ( u₃ ) dividiendo la incertidumbre entre la raíz cuadrada de dos.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Distribución de Rayleigh
Descripción
Las distribuciones de Rayleigh se utilizan cuando la magnitud de un vector está asociada con sus componentes direccionales (por ejemplo, x e y), que pueden incluir componentes reales e imaginarios (por ejemplo, i y j).
Cuando los componentes direccionales son ortogonales (es decir, estadísticamente independientes) y se distribuyen normalmente, el vector resultante tendrá una distribución de Rayleigh.
Usos comunes de la distribución de Rayleigh
Las distribuciones de Rayleigh se utilizan comúnmente en metrología eléctrica para funciones de RF y microondas. También se emplean en otras áreas de la metrología donde intervienen dos vectores.
Por ejemplo, al analizar la velocidad del viento mediante sus componentes vectoriales bidimensionales, x e y, el vector resultante presenta una distribución de Rayleigh. Para que esto suceda, x e y deben ser ortogonales y distribuirse normalmente.
Otro ejemplo del uso de una distribución de Rayleigh para caracterizar la incertidumbre del desajuste.
En la sección anterior, mostré que se puede caracterizar la incertidumbre de desajuste con una distribución en forma de U. Sin embargo, la Guía de Keysight: "Fundamentos de las mediciones de potencia de RF y microondas (Parte 3)" indica que es probable que la distribución en forma de U sobreestime la incertidumbre. Por lo tanto, recomiendan usar la distribución de Rayleigh para caracterizar la incertidumbre de desajuste, ya que es más realista.
Mire la imagen a continuación para ver la recomendación para usar la distribución de Rayleigh de la Guía de Keysight: “Fundamentos de las mediciones de potencia de RF y microondas (Parte 3)”.
Divisor para la distribución de Rayleigh
Para convertir una incertidumbre con una distribución de Rayleigh a una desviación estándar equivalente, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Divida la incertidumbre estimada (Ui) entre la raíz cuadrada de dos veces el logaritmo natural de 20.
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
ln = logaritmo natural
En muchos casos, necesitará conocer la incertidumbre de medición de cada componente direccional para calcular la incertidumbre de medición del componente vectorial. Posteriormente, puede usar la ecuación anterior para reducir el componente de incertidumbre a su equivalente en desviación estándar.
Para obtener una mejor explicación, haga clic en el siguiente enlace para leer este artículo de Michael Dobbert de Keysight Technologies.
Ejemplo de incertidumbre estándar para la distribución de Rayleigh
Ejemplo 1: Incertidumbre por desajuste
Imagine que utiliza un sensor de potencia de RF para medir la potencia de salida de un generador de señales. Si la incertidumbre de desajuste entre el sensor y la fuente se estima en 1 µW, caracterícela con una distribución de Rayleigh y conviértala ( U₃ ) en una incertidumbre estándar ( u₃ ) dividiendo la incertidumbre entre la raíz cuadrada de dos veces el logaritmo natural de 20.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Distribución logarítmica normal
Descripción
La distribución log-normal es una función de un logaritmo natural que se distribuye normalmente.
La distribución log-normal es una distribución de probabilidad común, pero poco utilizada. Generalmente, no se utiliza por desconocimiento o falta de software para evaluar correctamente los datos. Por lo tanto, la mayoría de las personas utilizan la distribución normal.
Sin embargo, las distribuciones log-normales son excelentes para caracterizar:
- Límites de tolerancia asimétricos,
- Mediciones limitadas por límites físicos (por ejemplo, bloque patrón),
- Recuentos en placa de microbiología (UFC) y
- Coeficientes de ajuste de curvas.
Usos comunes de la distribución logarítmica normal
Por ejemplo, muchas mediciones de longitud, altura, peso y concentración pueden tener limitaciones físicas. Por lo tanto, es probable que se obtengan resultados de medición e incertidumbres que deberían caracterizarse con una distribución logarítmica normal.
Imagina que estás midiendo la longitud de un bloque patrón. Tras realizar mediciones repetidas , es probable que veas más resultados mayores que la longitud real del bloque patrón que menores. Esto se debe a que la longitud del bloque patrón está limitada por sus límites físicos.
Es probable que se obtengan resultados similares al medir el peso de una masa calibrada. Es probable que se registren más resultados superiores a la masa real y menos resultados inferiores. Nuevamente, esto se debe a que la masa está limitada por sus límites físicos.
En otras situaciones, es posible que tenga resultados de medición que se distribuyan normalmente pero que estén relacionados con una función log-normal.
Mire la imagen a continuación para ver la relación entre las distribuciones normales y log-normales.
Divisor para distribución logarítmica normal
Para convertir una incertidumbre con una distribución logarítmica normal a una desviación estándar equivalente, utilice la ecuación que se muestra a continuación. Probablemente necesitará un programa para calcularla. Además, necesitará conocer la mediana, el parámetro de forma y el límite físico.
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
m = mediana (parámetro de escala)
q = límite físico
σ = parámetro de forma
Puede obtener más información sobre la distribución Log-Normal en las siguientes fuentes:
- NIST SEMATECH, Sección 1.3.6.6.9, “Distribución lognormal”
- Grupo de Ciencias Integradas, “Varianzas de la distribución de errores y otras estadísticas”
Como alternativa, encontré un artículo de Fluke Calibration que utilizaba una distribución logarítmica normal en un presupuesto de incertidumbre. El divisor que Fluke utilizó para convertir la incertidumbre a una desviación estándar equivalente fue 2,375.
Recomiendo este método como una opción más sencilla. Observa la ecuación a continuación.
Dónde,
u i = incertidumbre estándar
U i = incertidumbre expandida
Ejemplo de incertidumbre estándar para una distribución logarítmica normal
Ejemplo 1: Medición de un bloque patrón con un calibrador
Imagina que usas un calibrador para medir la longitud de un bloque patrón y la incertidumbre es de 1 µm con una distribución logarítmica normal. Convierte la incertidumbre a desviación estándar dividiéndola entre 2,375.
Si calcula la incertidumbre de medición utilizando Microsoft Excel, deberá utilizar la siguiente fórmula:
Cómo elegir distribuciones de probabilidad –
Recomendaciones del GUM con reglas de decisión
En esta sección, les mostraré y explicaré las recomendaciones del JCGM 100:2008 (es decir, GUM) para que puedan elegir la distribución de probabilidad correcta. El GUM recomienda las siguientes distribuciones y proporciona orientación sobre los casos de uso recomendados.
- Distribución normal,
- Distribución rectangular,
- Distorsión trapezoidal y
- Distribución triangular
Distribución normal
Según la norma JCGM 100:2008, se recomiendan tres condiciones para seleccionar una distribución normal. Estas condiciones incluyen:
- Desviación estándar,
- Múltiplo de una desviación estándar,
- Nivel de confianza, o
- Combinación de múltiples factores
A) Desviación estándar
Si su incertidumbre es una desviación estándar o una desviación estándar de la media , entonces seleccione una distribución normal.
Luego seleccione una distribución normal
Según la JCGM 100:2008, las secciones 4.2.3 y G2.2 analizan que la distribución de probabilidad de una media y una varianza (o desviación estándar) es una distribución normal.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección 4.2.3.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección G.2.2.
B) Múltiplo de una desviación estándar
Si su incertidumbre se expresa como un múltiplo de una desviación estándar , entonces seleccione una distribución normal.
Luego seleccione una distribución normal
Según la norma JCGM 100:2008, la sección 4.3.3 establece que si se indica que una estimación de incertidumbre es un múltiplo particular de una desviación estándar, la incertidumbre estándar es simplemente el valor citado dividido por el multiplicador, y la varianza estimada es el cuadrado del cociente.
Según la norma GUM, la incertidumbre estándar se considera una desviación estándar (es decir, la raíz cuadrada de la varianza). Por lo tanto, se recomienda seleccionar una distribución normal.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección 4.3.3.
C) Incertidumbre expresada en un intervalo de confianza
Si su incertidumbre se expresa en un nivel específico de confianza , entonces seleccione una distribución normal.
Luego seleccione una distribución normal
Según el JCGM 100:2008, la sección 4.3.4 establece que « la incertidumbre citada de x i no se expresa necesariamente como un múltiplo de una desviación estándar. En cambio, se puede encontrar que la incertidumbre citada define un intervalo con un nivel de confianza del 90 %, 95 % o 99 %. Salvo indicación contraria, se puede asumir que se utilizó una distribución normal para calcular la incertidumbre citada …».
A partir de la afirmación GUM, se puede suponer que una incertidumbre expresada en un nivel particular de confianza tiene una distribución normal.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección 4.3.4.
D) Incertidumbre expresada en una combinación de factores
Si su incertidumbre se expresa como una combinación de varios factores contribuyentes , entonces seleccione una distribución normal.
Luego seleccione una distribución normal
Esto se recomienda en el Apéndice G del JCGM 100:2008 . En la sección G.2.2, el GUM proporciona información sobre el Teorema del Límite Central.
Cuando se combinan varias fuentes de incertidumbre , cada una con su propia distribución de probabilidad, la distribución resultante es una distribución normal.
El ejemplo en la parte inferior de la sección describe que combinar tan solo tres distribuciones rectangulares dará como resultado una distribución normal.
Mire la imagen a continuación para ver la sección G.2.2 del JCGM 100:2008.
En la imagen a continuación, verá la hoja de datos de un manómetro digital que indica que la precisión se basa en la combinación de varios factores . Aunque la hoja de datos no indica un nivel de confianza ni un múltiplo de la desviación estándar, se puede asumir una distribución normal según el Teorema del Límite Central.
Distribución rectangular
Resumen: Límites sin conocimiento de valores posibles o límites con valor esperado cerca de los límites
Si su incertidumbre se estima únicamente mediante límites y no existe conocimiento específico sobre los valores posibles dentro del intervalo, entonces se puede asumir una distribución rectangular.
LUEGO seleccione una Distribución Rectangular
Según el JCGM 100:2008, sección 4.3.7 establece: “ En otros casos, puede ser posible estimar solo límites (límites superior e inferior) para X i , en particular, afirmar que “la probabilidad de que el valor de X i se encuentre dentro del intervalo a- a a+ para todos los fines prácticos es igual a uno y la probabilidad de que X i se encuentre fuera del intervalo es esencialmente cero”. Si no hay conocimiento específico sobre los posibles valores de X i dentro del intervalo, solo se puede asumir que es igualmente probable que X i se encuentre en cualquier lugar dentro de él (una distribución uniforme o rectangular de posibles valores)”.
A partir de la afirmación GUM, se puede suponer que una incertidumbre expresada solo por límites sin conocimiento del valor real dentro de los límites tiene una distribución rectangular.
Esto se aplica a límites de tolerancia, límites de aceptación, error máximo permisible, etc.
Actualmente, muchas guías, profesionales y evaluadores afirman que las especificaciones y tolerancias de los fabricantes deben caracterizarse por una distribución rectangular, a menos que cumplan con los criterios de distribución normal mencionados anteriormente. Si se sigue lo establecido en la GUM, la distribución rectangular solo aplica si se estima la incertidumbre únicamente con límites, sin considerar ni conocer el valor calibrado o certificado.
Sin embargo, si su equipo está calibrado y sabe que el valor calibrado o certificado se encuentra dentro de los límites, podría usar una distribución diferente. Lea la siguiente sección para obtener más información.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección 4.3.7.
Distribución de triángulos y trapecios
Resumen: Alternativa a la distribución rectangular
Dado que una distribución rectangular es una distribución extrema y poco realista, la GUM propone opciones alternativas en la sección 4.3.9.
Si su incertidumbre se estima solo por límites y no hay conocimiento específico acerca de los valores posibles dentro del intervalo , pero espera que los valores tengan más probabilidades de estar más cerca del punto medio que los límites , entonces puede asumir una distribución trapezoidal o triangular.
Es más probable que AND esté cerca del punto medio que de los límites
LUEGO seleccione una distribución trapezoidal
O seleccione una distribución triangular
Según el JCGM 100:2008, la sección 4.3.9 establece que “ debido a que no había conocimiento específico sobre los posibles valores de Xi dentro de sus límites estimados a_ a a+, solo se podía asumir que era igualmente probable que Xi tomara cualquier valor dentro de esos límites, con cero probabilidad de estar fuera de ellos. Dichas discontinuidades de la función escalonada en una distribución de probabilidad a menudo no son físicas. En muchos casos, es más realista esperar que los valores cerca de los límites sean menos probables que aquellos cerca del punto medio. Es entonces razonable reemplazar la distribución rectangular simétrica con una distribución trapezoidal simétrica que tiene lados con pendientes iguales (un trapezoide isósceles), una base de ancho a+ – a- = 2a y un ancho superior 2aβ, donde 0 ≤ β ≤ 1. Cuando β → 1, esta distribución trapezoidal se aproxima a la distribución rectangular de 4.3.7, mientras que para β = 0, es una distribución triangular ”.
Mire la imagen a continuación para ver un extracto de JCGM 100:2008, sección 4.3.9.
A partir de la declaración GUM, puede elegir una distribución triangular o trapezoidal en lugar de una distribución rectangular incluso aunque su incertidumbre se estime solo mediante límites y no tenga idea de dónde está el valor real dentro de los límites.
Prefiero esta alternativa. Nunca me gustó usar distribuciones rectangulares, ya que no es probable que representen una población de datos. Sin embargo, muchos otros no están de acuerdo conmigo.
Si desea utilizar la distribución trapezoidal o triangular en lugar de la distribución rectangular, esto es lo que recomiendo.
A) Distribución triangular (común)
La mayoría de las guías y artículos sobre incertidumbre utilizan la distribución triangular, no la trapezoidal. Por lo tanto, recomendaría usar la distribución triangular. Sin embargo, la mayoría de los evaluadores desean que se cuente con evidencia que respalde su uso.
Por lo tanto, recomiendo revisar sus certificados de calibración. Si el resultado de la calibración es inferior al 50 % del límite de tolerancia , es fácil afirmar que el valor del intervalo está más cerca del punto medio que del límite. Esto debería ayudarle a justificar el uso de la distribución triangular.
B) Distribución trapezoidal (no común)
Si desea utilizar la distribución trapezoidal ( no es común ), creo que hay una forma inteligente de hacerlo. Muchos laboratorios establecen reglas de decisión para ajustar sus equipos si el rendimiento supera, por ejemplo, el 70 % del límite de tolerancia (TL).
En este escenario, se utilizan los límites de tolerancia como incertidumbre y se caracteriza con una distribución trapezoidal donde β = 0,3 (es decir, (100 %-70 %)/100 = 0,3). El divisor para convertir el factor de incertidumbre en incertidumbre estándar es k = 2,007.
Esta solución es similar a una distribución normal, donde se esperaría que la mayoría de los resultados se encuentren dentro de una desviación estándar de la media (es decir, un nivel de confianza del 68%). Como referencia, una distribución normal con un nivel de confianza del 95% tiene un divisor de k = 2.
Sin embargo, debido al trabajo adicional para calcular los divisores y la falta de adopción de calculadoras y software de incertidumbre de medición , la mayoría de las personas no utilizarán esta distribución.
De hecho, nunca lo he utilizado (todavía) aunque lo he considerado muchas veces.
En caso de que quieras utilizar la distribución trapezoidal, he realizado un gráfico de los divisores de la distribución (para convertir la incertidumbre en incertidumbre estándar o equivalentes de desviación estándar) versus el valor beta.
En el gráfico a continuación, observará que:
- Cuando beta es 0, el divisor es igual a una distribución triangular y
- Cuando beta es 1, el divisor es igual a una distribución rectangular.
Compromiso GUM: Distribución triangular
Por último, quería compartir una recomendación importante del Apéndice F del JCGM 100:2008 .
En la sección F.2.3.3, la GUM ofrece un compromiso para las controversias entre asumir una distribución normal y rectangular . En caso de controversia, la guía recomienda asumir una distribución triangular.
Quería compartir esta recomendación porque habitualmente tengo debates con evaluadores y otros profesionales sobre si una tolerancia o especificación debe caracterizarse por una distribución normal o rectangular.
Si usted se encuentra en medio de un debate, esta sección del GUM puede serle útil.
Mire la imagen a continuación para ver la sección F.2.3.3 en el JCGM 100:2008.
Árbol de decisión y tablas de distribuciones de probabilidad
Antes de finalizar esta guía, hice algunas tablas de decisiones y árboles de decisiones para ayudarlo a elegir distribuciones de probabilidad apropiadas para sus presupuestos de incertidumbre.
Tabla de decisiones basada en la GUM
La siguiente tabla es una tabla de decisiones basada en las recomendaciones de la GUM (JCGM 100:2008).
Es una excelente hoja de trucos para caracterizar las fuentes de incertidumbre mediante:
- Tipo de incertidumbre y
- Distribución de probabilidad.
Árbol de decisión basado en el GUM
El árbol de decisión o diagrama de flujo a continuación es similar a la tabla de decisiones anterior. Le ayudará a elegir una distribución de probabilidad según las recomendaciones del GUM (JCGM 100:2008).
Simplemente comience en la esquina superior izquierda de la decisión y responda las preguntas de izquierda a derecha. Con base en sus respuestas, encontrará la distribución de probabilidad de su factor de incertidumbre.
Si prefiere diagramas de flujo en lugar de tablas, esto funcionará mejor para usted.
Tabla de decisiones para fuentes comunes de incertidumbre
Finalmente, encontrará una tabla de decisiones para las fuentes comunes de incertidumbre que abordo en muchas de mis guías . Estos son los factores que contribuyen a la incertidumbre que recomiendo incluir en la mayoría de los presupuestos de incertidumbre . Por lo tanto, pensé que sería útil contar con una tabla de decisiones para ayudarle a elegir las distribuciones de probabilidad adecuadas para cada una de estas incertidumbres.
Para usar la tabla, busque el factor que contribuye a la incertidumbre en la columna del extremo izquierdo. A continuación, observe la columna de distribución (es decir, la segunda columna) en la misma fila para encontrar la distribución de probabilidad que debe usar.
Si hay más de una opción disponible, mire la columna Notas/Comentarios (es decir, la cuarta columna) en la misma fila para obtener información que lo ayude a elegir la distribución correcta para su incertidumbre.
Además, incluí los divisores en la tercera columna que debes usar para convertir tu factor de incertidumbre en una incertidumbre estándar. Si hay más de una opción, consulta la columna Notas/Comentarios en la misma fila para ayudarte a elegir el divisor correcto.
Esta es una excelente hoja de trucos que comencé a incluir en mi capacitación sobre incertidumbre de medición el año pasado.
Conclusión
Las distribuciones de probabilidad son importantes para comprender el comportamiento de las funciones, analizar las fuentes de incertidumbre y predecir resultados futuros. Por ello, son un componente crucial del análisis de incertidumbre.
Si estima la incertidumbre de medición sin considerar las distribuciones de probabilidad, cometerá errores. Por lo tanto, asegúrese de usar esta guía como referencia al elaborar sus presupuestos de incertidumbre.
En esta guía deberías haber aprendido lo siguiente:
- ¿Qué es una distribución de probabilidad?
- Distribuciones comunes utilizadas en el análisis de incertidumbre,
- Recomendaciones de GUM para elegir distribuciones y
- Árboles de decisión y diagramas de flujo para seleccionar la distribución correcta.
Finalmente, observe la imagen a continuación. Es una hoja de trucos sobre distribuciones de probabilidad con un resumen de las distribuciones que se tratan en esta guía, incluyendo los divisores y las fórmulas necesarias para convertir cada uno de sus contribuyentes en una incertidumbre estándar.
En general, la información contenida en esta guía debería ayudarle a elegir con confianza las distribuciones correctas la próxima vez que tenga que calcular la incertidumbre .
Espero que este artículo te haya resultado útil para tu análisis de incertidumbre. Déjame un comentario y cuéntame qué distribuciones de probabilidad utilizas en tu análisis de incertidumbre.
Referencias
- JCGM. (2008). JCGM 100:2008(E) Evaluación de datos de medición — Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición. Sèvres: JCGM.
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Este artículo se publicó originalmente el 28 de octubre de 2015 y se actualizó el 8 de marzo de 2024.
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