Distributions de probabilité pour l'incertitude de mesure

  
   

Introduction

Les distributions de probabilité sont un élément important de l'analyse de l'incertitude de mesure, un domaine qui pose souvent problème. Aujourd'hui, mon objectif est de vous aider à en apprendre davantage sur les distributions de probabilité sans avoir à vous procurer un manuel de statistiques. Bien qu'il existe des centaines de distributions de probabilité, je vais me concentrer sur les six plus importantes.

Si vous avez constamment des difficultés avec les distributions de probabilité, poursuivez votre lecture. Je vais vous expliquer ce que sont les distributions de probabilité, leur importance et comment elles peuvent vous aider à estimer l'incertitude de mesure.

Dans ce guide, je vais aborder les informations suivantes. Vous pouvez accéder directement à la section suivante en cliquant sur les liens ci-dessous.

 

  
   

Qu'est-ce qu'une distribution de probabilité

Selon la définition C.2.3 du JCGM 100:2008 , une distribution de probabilité est une fonction donnant la probabilité (vraisemblance) qu'une variable aléatoire prenne une valeur donnée ou appartienne à un ensemble donné de valeurs.

Regardez l'image ci-dessous pour voir la définition du GUM.

En termes simples, les distributions de probabilité sont une fonction, un tableau ou une équation qui montre la relation entre le résultat d'un événement et sa fréquence d'occurrence.

Les distributions de probabilité sont utiles car elles peuvent servir de représentation graphique de vos fonctions de mesure et de leur comportement. Connaître les performances passées de votre fonction de mesure permet de prédire avec plus de certitude les résultats futurs.

Avant d'aborder les différents types de distributions de probabilité, commençons par en apprendre davantage sur elles. Dans les paragraphes suivants, je vais vous expliquer quelques caractéristiques importantes à connaître.

  
   

Histogramme

Un histogramme est une représentation graphique utilisée pour comprendre comment les données numériques sont distribuées.

Regardez l'image ci-dessous. Il s'agit d'un histogramme d'une distribution gaussienne ou normale.

Observez l'histogramme et constatez que la majorité des données collectées sont regroupées au centre. C'est ce qu'on appelle la tendance centrale.

Regardez maintenant la hauteur de chaque barre de l'histogramme. La hauteur des barres indique la fréquence à laquelle le résultat qu'elles représentent se produit. Plus la barre est haute, plus l'occurrence est fréquente.

  
   

Asymétrie

L'asymétrie est une mesure de la symétrie des distributions de probabilité. L'image ci-dessous illustre comment les distributions de probabilité peuvent s'incliner vers la gauche ou vers la droite.

  
   

Kurtosis

L'aplatissement est une mesure de la présence de queues et de pics par rapport à une distribution normale. Comme le montre l'image ci-dessous, les distributions dont les queues sont plus larges ont des pics plus petits, tandis que celles dont les pics sont plus grands ont des queues plus étroites. Voyez-vous la relation ?

  
   

Pourquoi est-ce important

Je sais que j'ai l'impression de vous faire lire plus d'informations que vous ne le souhaitez, mais il est important de connaître ces détails afin que vous puissiez sélectionner la distribution de probabilité appropriée qui caractérise vos données.

Si vous n’êtes pas sûr de la façon dont vos données sont distribuées, créez un histogramme de vos données et comparez-le aux distributions de probabilité suivantes.

  
   

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Distributions de probabilité pour l'incertitude de mesure

Maintenant que vous savez ce qu'est une distribution de probabilité, examinons les différents types de distributions. Les distributions de probabilité les plus couramment utilisées pour estimer l'incertitude de mesure sont :

• Normale,
• Rectangulaire,
• Triangle,
• En forme de U,
• Log-normale et
• Rayleigh

Dans les sections ci-dessous, vous en apprendrez davantage sur chacune de ces distributions. J'aborderai les informations générales nécessaires à l'estimation de l'incertitude de mesure.

Après avoir lu cet article, vous devriez être en mesure d’identifier les distributions de probabilité que vous devez utiliser dans votre budget d’incertitude et comment convertir vos contributeurs d’incertitude en équivalents d’écart type (une étape critique pour estimer l’incertitude).

  
   

Distribution gaussienne (ou normale)

  
   

La description

La distribution normale est une fonction qui représente la distribution de nombreuses variables aléatoires sous la forme d'un graphique symétrique en forme de cloche où le pic est centré sur la moyenne et est distribué symétriquement conformément à l'écart type.

Cela signifie que les résultats sont plus susceptibles de se produire près de la moyenne ou de la moyenne et répartis autour de la moyenne, tandis que les résultats plus éloignés de la moyenne sont moins susceptibles de se produire.

La distribution normale est la distribution de probabilité la plus couramment utilisée pour évaluer les données d'incertitude de type A. Si vous ne savez pas ce qu'est l'incertitude de type A, il s'agit des données collectées à partir de tests expérimentaux, tels que les tests de répétabilité , de reproductibilité et de stabilité.

Pour mieux comprendre, imaginez que vous collectez 100 échantillons de mesure et que vous créez un histogramme avec vos résultats. L'histogramme de vos données doit ressembler à une distribution normale.

Selon le théorème central limite , plus vous collectez de données, plus votre histogramme commencera à ressembler à une distribution normale.

Je ne vous demande pas de prélever 100 échantillons à chaque test de répétabilité et de reproductibilité. Je vous recommande plutôt de commencer par prélever 20 à 30 échantillons pour chaque test de répétabilité. Cela devrait vous donner une bonne base de départ et vous permettre de caractériser vos données avec une distribution normale.

  
   

Diviseur pour une distribution normale

Pour convertir une incertitude normalement distribuée en un équivalent d'écart type, utilisez l'équation ci-dessous. Divisez l'incertitude estimée (U _i ) par son facteur de couverture (k).

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie
k = facteur de couverture

La valeur du facteur de couverture dépend du niveau de confiance associé à l'estimation de l'incertitude. Le tableau G.1 de l'annexe G de la norme JCGM 100:2008 vous aidera à déterminer le facteur de couverture associé à un niveau de confiance spécifique.

Regardez l’image ci-dessous pour voir le tableau G.1 du GUM.

D'après le tableau, vous pouvez voir qu'un écart type d'un test de répétabilité aurait un niveau de confiance de 68,27 % et un facteur de couverture de k = 1.

De plus, vous constaterez que l’ incertitude dans vos rapports d’étalonnage a un niveau de confiance de 95,45 % et un facteur de couverture de k=2.

  
   

Exemple d'incertitude type pour une distribution normale

Exemple 1 : Écart type du test de répétabilité

Par exemple, si vous collectez 20 échantillons pour un test de répétabilité et calculez l'écart type, le facteur de couverture (k) est de 1. Il est égal à 1 car votre écart type est exprimé au niveau de confiance de 1 sigma (c'est-à-dire 68,27 % IC).

Donc, si votre écart type est de 1 mg, vous le diviseriez par un facteur de couverture de 1 et votre incertitude type serait égale à 1 mg.

Le résultat n’aurait aucune réduction de valeur car il est déjà égal à un écart type.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un exemple de calcul.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel , vous utiliserez la formule suivante :

 

  
   

Exemple 2 : Incertitude élargie à partir d'un rapport d'étalonnage

Dans l'exemple suivant, imaginez que vous évaluiez l'incertitude de mesure à partir de votre rapport d'étalonnage. L'incertitude rapportée doit être exprimée selon un intervalle de confiance de 95 % où k est égal à 2.

Si l'incertitude d'étalonnage indiquée dans votre certificat est de 1 mg, vous la diviserez par le facteur de couverture de 2. L'incertitude standard résultante serait égale à 0,5 mg.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un exemple de calcul.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
 
   

Distribution rectangulaire (également appelée distribution uniforme)

  
   

La description

La distribution rectangulaire est une fonction qui représente une distribution uniforme continue et une probabilité constante. Dans une distribution rectangulaire, tous les résultats ont la même probabilité de se produire .

La distribution rectangulaire est la distribution de probabilité la plus couramment utilisée en analyse d'incertitude. Si vous vous demandez pourquoi, c'est parce qu'elle couvre la majorité des facteurs d'incertitude pour lesquels l'évaluateur dit : « Je ne suis pas sûr de la distribution des données. »

Lorsque vous n’êtes pas sûr de la manière dont vos données sont distribuées, il est préférable de les évaluer de manière prudente.

Dans ce cas, la distribution rectangulaire est une excellente option par défaut, raison pour laquelle la plupart des évaluateurs ISO/IEC 17025 la recommandent. N'oubliez donc pas la distribution rectangulaire : vous l'utiliserez fréquemment.

  
   

Diviseur pour distribution rectangulaire

Pour convertir une incertitude de distribution rectangulaire en un écart type équivalent, utilisez l'équation ci-dessous. Divisez l'incertitude estimée (U _i ) par la racine carrée de trois (3).

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie

Alternativement, vous pouvez rencontrer une distribution rectangulaire où vous pensez que la valeur (x _i ) est le point médian de la distribution (ou la moitié de la distribution). Dans ce cas, divisez l'incertitude estimée (U _i ) par deux fois la racine carrée de trois (3).

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie

Sinon, vous pourriez diviser l'incertitude (U _i ) par la racine carrée de douze (12). Mathématiquement, le résultat est le même.

  
   

Exemple d'incertitude type pour une distribution rectangulaire

Exemple 1 : Résolution d'un équipement de mesure

Par exemple, si vous disposez d'un multimètre numérique avec une résolution de 1 mV, vous caractériserez la résolution de l'instrument avec une distribution rectangulaire et convertirez l'incertitude (U _i ) en une incertitude standard (u _i ) en divisant l'incertitude par la racine carrée de trois.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
   

Exemple 2 : Demi-résolution d'un équipement de mesure

Imaginez maintenant que vous disposez d'un multimètre numérique avec une résolution de 1 mV et que vous souhaitez considérer l'incertitude (U _i ) comme la moitié de la résolution (0,5 R).

Ensuite, caractérisez la résolution de l’instrument avec une distribution rectangulaire et convertissez l’incertitude (U _i ) en une incertitude standard (u _i ) en divisant l’incertitude par la racine carrée de douze.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
 
   

Distribution triangulaire

  
   

La description

La distribution triangulaire est une fonction qui représente une valeur minimale, maximale et centrale estimée connue .

Similaire à la distribution rectangulaire, la distribution triangulaire est dite « de manque de connaissance ». Vous ignorez peut-être où se situe la valeur (x _i ) dans l'intervalle, mais vous pensez qu'elle est plus proche de la moyenne (ou du centre de l'intervalle) que des limites.

Selon la norme JCGM 100:2008, elle est recommandée comme alternative à la distribution rectangulaire car elle constitue une attente plus réaliste.

J'en parlerai plus en détail plus tard dans la prochaine section sur les recommandations GUM .

  
   

Diviseur pour la distribution triangulaire

Pour convertir une incertitude de distribution triangulaire en un écart type équivalent, utilisez l'équation ci-dessous. Divisez l'incertitude estimée (U _i ) par la racine carrée de six (6).

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie

  
   

Exemple d'incertitude type pour la distribution triangulaire

Exemple 1 : Spécification du fabricant

Par exemple, si vous utilisez une masse étalonnée avec une erreur maximale tolérée (EMP) de 1 mg, vous pouvez caractériser l'incertitude avec une distribution triangulaire et convertir l'incertitude (U _i ) en une incertitude standard (u _i ) en divisant l'incertitude par la racine carrée de six.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
 
   

Distribution en U

  
   

La description

La distribution en U est une fonction qui représente les résultats les plus susceptibles de se produire aux extrémités de l'intervalle . La distribution a la forme d'un « U », mais n'est pas nécessairement symétrique.

La distribution en forme de U est utile lorsque les événements se produisent fréquemment aux extrémités de la plage.

Pensez au thermostat qui contrôle la température de votre laboratoire. En général, la plupart des thermostats se contentent de contrôler la température en démarrant et en arrêtant votre système CVC aux extrêmes de la plage.

  
   

Exemple de température pour une distribution en U

Par exemple, imaginez que le thermostat de votre laboratoire soit réglé à 20 °C et régule la température à ± 1 °C. Il est fort probable que votre thermostat n'active votre système CVC que lorsque la température du laboratoire atteint 19 °C ou 21 °C. Cela signifie que votre laboratoire n'est normalement pas à 20 °C. Au contraire, la température de votre laboratoire se situe autour des seuils du thermostat avant de s'activer ou de se désactiver.

Pour cette raison, vous pouvez caractériser vos données de température de laboratoire à l'aide d'une distribution en U. Cependant, la plupart des gens préfèrent utiliser une distribution rectangulaire ou triangulaire pour les incertitudes liées à la température ambiante.

  
   

Exemple de puissance RF pour une distribution en U

Un autre exemple courant d’utilisation d’une distribution en forme de U est l’incertitude de non-concordance dans les fonctions de mesure RF/micro-ondes.

Regardez l'image ci-dessous pour voir le tableau des distributions de probabilité recommandées dans le guide de Keysight : « Principes fondamentaux des mesures de puissance RF et micro-ondes (partie 3) ».

Le tableau ci-dessus inclut également des recommandations pour la distribution de Rayleigh. J'aborderai ce sujet plus en détail dans la section suivante.

  
   

Diviseur pour distribution en U

Pour convertir une incertitude avec une distribution en U en un équivalent d'écart type, utilisez l'équation ci-dessous. Divisez l'incertitude estimée (Ui) par la racine carrée de deux (2).

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie

  
   

Exemple d'incertitude type pour une distribution en U

Exemple 1 : Incertitude de non-concordance

Imaginez que vous utilisez un capteur de puissance RF pour mesurer la puissance de sortie d'un générateur de signaux. Si l'incertitude de désadaptation entre le capteur et la source est estimée à 1 µW, caractérisez-la par une distribution en U et convertissez-la ( _Ui ) en incertitude type ( _ui ) en la divisant par la racine carrée de deux.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
 
   

Distribution de Rayleigh

  
   

La description

Les distributions de Rayleigh sont utilisées lorsque la grandeur d'un vecteur est associée à ses composantes directionnelles (par exemple x et y), qui peuvent inclure des composantes réelles et imaginaires (par exemple i et j).

Lorsque les composantes directionnelles sont orthogonales (c'est-à-dire statistiquement indépendantes) et distribuées normalement, le vecteur résultant aura une distribution de Rayleigh.

  
   

Utilisations courantes de la distribution de Rayleigh

Les distributions de Rayleigh sont couramment utilisées en métrologie électrique pour les fonctions RF et micro-ondes. Elles sont également fréquemment utilisées dans d'autres domaines de la métrologie impliquant deux vecteurs.

Par exemple, lorsque la vitesse du vent est analysée par ses composantes vectorielles bidimensionnelles, x et y, le vecteur résultant présente une distribution de Rayleigh. Pour cela, x et y doivent être orthogonaux et normalement distribués.

Un autre exemple d’utilisation d’une distribution de Rayleigh pour caractériser l’incertitude de non-concordance.

Dans la section précédente, je vous ai montré qu'il est possible de caractériser l'incertitude de désadaptation à l'aide d'une distribution en U. Cependant, le guide Keysight « Principes fondamentaux des mesures de puissance RF et micro-ondes (Partie 3) » indique que la distribution en U risque de surestimer l'incertitude. Il est donc recommandé d'utiliser la distribution de Rayleigh pour caractériser l'incertitude de désadaptation, car elle est plus réaliste.

Regardez l'image ci-dessous pour voir la recommandation d'utilisation de la distribution de Rayleigh du guide de Keysight : « Principes fondamentaux des mesures de puissance RF et micro-ondes (partie 3) ».

  
   

Diviseur pour la distribution de Rayleigh

Pour convertir une incertitude de distribution de Rayleigh en un équivalent d'écart type, utilisez l'équation ci-dessous. Divisez l'incertitude estimée (Ui) par la racine carrée de deux fois le logarithme naturel de 20.

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie
ln = logarithme népérien

Dans de nombreux cas, vous devrez connaître l'incertitude de mesure de chaque composante directionnelle pour calculer l'incertitude de mesure de la composante vectorielle. Vous pouvez ensuite utiliser l'équation ci-dessus pour réduire votre incertitude à un équivalent d'écart type.

Pour une meilleure explication, cliquez sur le lien ci-dessous pour lire cet article de Michael Dobbert de Keysight Technologies.

• Réexamen de l'incertitude de non-concordance avec la distribution de Rayleigh

  
   

Exemple d'incertitude standard pour la distribution de Rayleigh

Exemple 1 : Incertitude de non-concordance

Imaginez que vous utilisez un capteur de puissance RF pour mesurer la puissance de sortie d'un générateur de signaux. Si l'incertitude de désadaptation entre le capteur et la source est estimée à 1 µW, caractérisez-la par une distribution de Rayleigh et convertissez-la ( _Ui ) en incertitude type ( _ui ) en divisant l'incertitude par la racine carrée de deux fois le logarithme naturel de 20.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
 
   

Distribution log-normale

  
   

La description

La distribution log-normale est une fonction d'un logarithme naturel qui est distribué normalement.

La distribution log-normale est une distribution de probabilité courante, mais rarement utilisée. La plupart du temps, elle n'est pas utilisée par manque de connaissances ou de logiciels permettant d'évaluer correctement les données. C'est pourquoi la plupart des gens privilégient la distribution normale.

Cependant, les distributions log-normales sont idéales pour caractériser :

• Limites de tolérance asymétriques,
• Mesures contraintes par des limites physiques (par exemple, bloc étalon),
• Numérations sur plaques de microbiologie (UFC) et
• Coefficients d'ajustement de courbe.

  
   

Utilisations courantes de la distribution log-normale

Par exemple, de nombreuses mesures de longueur, de taille, de poids et de concentration peuvent présenter des limites physiques. Par conséquent, vous risquez d'obtenir des résultats de mesure et des incertitudes qui doivent être caractérisés par une distribution log-normale.

Imaginez que vous mesurez la longueur d'une cale étalon. Après plusieurs mesures , vous obtiendrez probablement plus de résultats supérieurs à la longueur réelle de la cale étalon que de résultats inférieurs. Cela est dû au fait que la longueur de la cale étalon est limitée par ses limites physiques.

Des résultats similaires sont susceptibles d'être obtenus si vous mesurez le poids d'une masse étalonnée. Vous obtiendrez probablement davantage de résultats supérieurs à la masse réelle et moins de résultats inférieurs à celle-ci. Là encore, cela est dû au fait que la masse est limitée par ses limites physiques.

Dans d’autres situations, vous pouvez avoir des résultats de mesure qui sont normalement distribués mais qui sont liés à une fonction log-normale.

Regardez l’image ci-dessous pour voir la relation entre les distributions normales et log-normales.

  
   

Diviseur pour une distribution log-normale

Pour convertir une incertitude de distribution log-normale en un équivalent d'écart type, utilisez l'équation ci-dessous. Vous aurez probablement besoin d'un logiciel pour la calculer. De plus, vous aurez besoin de connaître la médiane, le paramètre de forme et la limite physique.

Où,
u _i = incertitude type
m = médiane (paramètre d'échelle)
q = limite physique
σ = paramètre de forme

Vous pouvez en apprendre davantage sur la distribution log-normale à partir des sources suivantes :

• NIST SEMATECH, Section 1.3.6.6.9, « Distribution log-normale »
• Groupe de sciences intégrées, « Variances de distribution des erreurs et autres statistiques »

J'ai également trouvé un article de Fluke Calibration qui utilisait une distribution log-normale dans un budget d'incertitude. Le diviseur utilisé par Fluke pour convertir l'incertitude en un équivalent d'écart type était de 2,375.

Je recommande cette méthode, plus simple. Regardez l'équation ci-dessous.

Où,
u _i = incertitude type
U _i = incertitude élargie

  
   

Exemple d'incertitude standard pour une distribution log-normale

Exemple 1 : Mesure d'une cale étalon avec un pied à coulisse

Imaginez que vous utilisez un pied à coulisse pour mesurer la longueur d'une cale étalon et que l'incertitude est de 1 µm avec une distribution log-normale. Convertissez cette incertitude en écart type en la divisant par 2,375.

Si vous calculez l’incertitude de mesure à l’aide de Microsoft Excel, vous utiliserez la formule suivante :

 

  
   

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Comment choisir les distributions de probabilité –
Recommandations du GUM avec règles de décision

Dans cette section, je vais vous présenter et expliquer les recommandations du JCGM 100:2008 (GUM) afin que vous puissiez choisir la distribution de probabilité la plus adaptée. Le GUM recommande les distributions suivantes et fournit des conseils sur les cas d'utilisation recommandés.

1. Distribution normale,
2. Distribution rectangulaire,
3. Distorsion trapézoïdale et
4. Distribution triangulaire

  
   

Distribution normale

Selon la norme JCGM 100:2008, il existe trois conditions pour lesquelles il est recommandé de sélectionner une distribution normale. Ces quatre conditions sont les suivantes :

1. Écart type,
2. Multiple d'un écart type,
3. Niveau de confiance, ou
4. Combinaison de plusieurs facteurs

  
   

A) Écart type

Si votre incertitude est un écart type ou un écart type de la moyenne , sélectionnez une distribution normale.

 

Selon le JCGM 100:2008, les sections 4.2.3 et G2.2 traitent de la distribution de probabilité d'une moyenne et d'une variance (ou écart type) dans une distribution normale.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section 4.2.3.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section G.2.2.

  
   

B) Multiple d'un écart type

Si votre incertitude est exprimée comme un multiple d’un écart type , sélectionnez une distribution normale.

 

Selon la norme JCGM 100:2008, la section 4.3.3 stipule que si une estimation de l'incertitude est déclarée comme étant un multiple particulier d'un écart type, l' incertitude type est simplement la valeur citée divisée par le multiplicateur, et la variance estimée est le carré du quotient.

D'après la déclaration GUM, l'incertitude type est considérée comme un écart type (c'est-à-dire la racine carrée de la variance). Il est donc recommandé de sélectionner une distribution normale.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section 4.3.3.

  
   

C) Incertitude exprimée à un intervalle de confiance

Si votre incertitude est exprimée à un niveau de confiance spécifique , sélectionnez une distribution normale.

 

Selon la norme JCGM 100:2008, la section 4.3.4 stipule que « l'incertitude de x _i indiquée n'est pas nécessairement exprimée comme un multiple de l'écart type. On peut plutôt y trouver une indication selon laquelle l'incertitude indiquée définit un intervalle ayant un niveau de confiance de 90, 95 ou 99 %. Sauf indication contraire, on peut supposer qu'une distribution normale a été utilisée pour calculer l'incertitude indiquée … »

D’après la déclaration GUM, une incertitude exprimée à un niveau de confiance particulier peut être supposée avoir une distribution normale.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section 4.3.4.

  
   

D) Incertitude exprimée par une combinaison de facteurs

Si votre incertitude est exprimée comme une combinaison de plusieurs facteurs contributifs , sélectionnez une distribution normale.

 

Ceci est recommandé dans l'annexe G du JCGM 100:2008 . Dans la section G.2.2, le GUM fournit des informations sur le théorème central limite.

Lorsque plusieurs sources d’incertitude , chacune avec sa propre distribution de probabilité, sont combinées, la distribution résultante est une distribution normale.

L'exemple au bas de la section décrit que la combinaison de seulement trois distributions rectangulaires donnera toujours lieu à une distribution normale.

Regardez l’image ci-dessous pour voir la section G.2.2 du JCGM 100:2008.

Dans l'image ci-dessous, vous verrez la fiche technique d'un manomètre numérique indiquant que la précision est basée sur la combinaison de plusieurs facteurs . Bien que la fiche technique n'indique pas de niveau de confiance ni de multiple d'un écart type, on peut néanmoins supposer une distribution normale basée sur le théorème central limite.

  
   

Distribution rectangulaire

Résumé : Limites sans connaissance des valeurs possibles ou limites avec une valeur attendue proche des limites

Si votre incertitude est estimée uniquement par des limites et qu'il n'existe aucune connaissance spécifique sur les valeurs possibles dans l'intervalle, alors on peut supposer une distribution rectangulaire.

 

Selon la norme JCGM 100:2008, la section 4.3.7 stipule : « Dans d'autres cas, il peut être possible d'estimer uniquement les bornes (limites supérieure et inférieure) pour X _i , en particulier, d'affirmer que « la probabilité que la valeur de X _i se situe dans l'intervalle a- à a+ est, à toutes fins pratiques, égale à un et la probabilité que X _i se situe en dehors de l'intervalle est essentiellement nulle. » S'il n'existe aucune connaissance spécifique des valeurs possibles de X _i dans l'intervalle, on ne peut que supposer qu'il est également probable que X _i se situe n'importe où à l'intérieur de celui-ci (une distribution uniforme ou rectangulaire des valeurs possibles). »

D'après la déclaration GUM, une incertitude exprimée uniquement par des limites sans connaissance de la valeur réelle à l'intérieur des limites peut être supposée avoir une distribution rectangulaire.

Ceci s’applique aux limites de tolérance, aux limites d’acceptation, à l’erreur maximale tolérée, etc.

De nombreux guides, professionnels et évaluateurs affirment que les spécifications et tolérances des fabricants doivent être caractérisées par une distribution rectangulaire, sauf si elles répondent aux critères de distribution normale mentionnés ci-dessus. Si l'on suit les instructions du GUM, la distribution rectangulaire ne s'applique que si l'incertitude est estimée uniquement sur des limites, sans tenir compte de la valeur calibrée ou certifiée.

Cependant, si votre équipement est étalonné et que vous connaissez la valeur étalonnée ou certifiée dans les limites, vous pourrez peut-être utiliser une distribution différente. Consultez la section suivante pour en savoir plus.

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section 4.3.7.

  
   

Distribution triangulaire et trapézoïdale

Résumé : Alternative à la distribution rectangulaire

Étant donné qu’une distribution rectangulaire est une distribution extrême et irréaliste, le GUM propose des options alternatives dans la section 4.3.9.

Si votre incertitude est estimée uniquement par des limites et qu'il n'existe aucune connaissance spécifique sur les valeurs possibles dans l'intervalle , mais que vous pensez que les valeurs sont plus susceptibles d'être plus proches du point médian que des limites , vous pouvez alors supposer une distribution trapézoïdale ou triangulaire.

 

Selon la norme JCGM 100:2008, la section 4.3.9 stipule que « étant donné l'absence de connaissance spécifique des valeurs possibles de X _i dans ses limites estimées a_ à a+, on ne pouvait que supposer qu'il était également probable que X _i prenne n'importe quelle valeur à l'intérieur de ces limites, avec une probabilité nulle d'être en dehors de celles-ci. » De telles discontinuités de fonction en escalier dans une distribution de probabilité sont souvent non physiques. Dans de nombreux cas, il est plus réaliste de s'attendre à ce que les valeurs proches des limites soient moins probables que celles proches du point médian. Il est alors raisonnable de remplacer la distribution rectangulaire symétrique par une distribution trapézoïdale symétrique ayant des côtés de pente égale (un trapèze isocèle), une base de largeur a+ – a- = 2a et un sommet de largeur 2aβ, où 0 ≤ β ≤ 1. Lorsque β → 1, cette distribution trapézoïdale se rapproche de la distribution rectangulaire de 4.3.7, tandis que pour β = 0, il s'agit d'une distribution triangulaire. .”

Regardez l’image ci-dessous pour voir un extrait de JCGM 100:2008, section 4.3.9.

À partir de l'instruction GUM, vous pouvez choisir une distribution triangulaire ou trapézoïdale au lieu d'une distribution rectangulaire, même si votre incertitude n'est estimée que par des limites et que vous n'avez aucune idée de l'endroit où se trouve la valeur réelle dans les limites.

Je préfère cette alternative. Je n'ai jamais aimé utiliser des distributions rectangulaires, car elles ne sont pas susceptibles de représenter une population de données. Cependant, beaucoup d'autres ne sont pas d'accord avec moi.

Si vous souhaitez utiliser la distribution trapézoïdale ou triangulaire au lieu de la distribution rectangulaire, voici ce que je recommande.

  
   

A) Distribution triangulaire (commune)

La plupart des guides et documents sur l'incertitude utilisent la distribution triangulaire, et non la distribution trapézoïdale. Je recommande donc d'utiliser la distribution triangulaire. Cependant, la plupart des évaluateurs souhaitent que vous disposiez de preuves pour justifier son utilisation.

Je vous recommande donc de consulter vos certificats d'étalonnage. Si le résultat d'étalonnage est inférieur à 50 % de la limite de tolérance , il est facile d'affirmer que la valeur de l'intervalle est plus proche du point médian que de la limite. Cela devrait vous aider à justifier l'utilisation de la distribution triangulaire.

  
   

B) Distribution trapézoïdale (peu courante)

Si vous souhaitez utiliser la distribution trapézoïdale ( ce qui n'est pas courant ), je pense qu'il existe une méthode intelligente. De nombreux laboratoires établissent des règles de décision pour ajuster leurs équipements si les performances dépassent (par exemple) 70 % de la limite de tolérance (TL).

Dans ce scénario, vous utilisez les limites de tolérance comme incertitude et les caractérisez par une distribution trapézoïdale où β = 0,3 (soit (100 % - 70 %) / 100 = 0,3). Le diviseur permettant de convertir votre contributeur d'incertitude en incertitude type est k = 2,007.

Cette solution est similaire à une distribution normale, où la plupart des résultats devraient se situer dans un écart type de la moyenne (soit un niveau de confiance de 68 %). À titre de référence, une distribution normale avec un niveau de confiance de 95 % a un diviseur de k = 2.

Cependant, en raison du travail supplémentaire nécessaire pour calculer les diviseurs et du manque d'adoption dans les calculateurs et logiciels d'incertitude de mesure , la plupart des gens n'utiliseront pas cette distribution.

En fait, je ne l'ai jamais utilisé (encore) même si j'y ai pensé à plusieurs reprises.

Si vous souhaitez utiliser la distribution trapézoïdale, j'ai créé un graphique des diviseurs de la distribution (pour convertir l'incertitude en incertitude type ou en équivalents d'écart type) par rapport à la valeur bêta.

Dans le tableau ci-dessous, vous remarquerez que :

1. Lorsque bêta est égal à 0, le diviseur est égal à une distribution triangulaire, et
2. Lorsque bêta est égal à 1, le diviseur est égal à une distribution rectangulaire.

  
   

Compromis GUM : distribution triangulaire

Enfin, je voulais partager une recommandation importante dans l’annexe F du JCGM 100:2008 .

Dans la section F.2.3.3, le guide GUM propose un compromis en cas de divergence entre l'hypothèse d'une distribution normale et celle d'une distribution rectangulaire . En cas de divergence, le guide recommande d'adopter une distribution triangulaire.

Je voulais partager cette recommandation, car j’ai régulièrement des débats avec des évaluateurs et d’autres professionnels sur la question de savoir si une tolérance ou une spécification doit être caractérisée par une distribution normale ou rectangulaire.

Si vous vous trouvez dans un débat, cette section du GUM peut vous être utile.

Regardez l’image ci-dessous pour voir la section F.2.3.3 du JCGM 100:2008.

  
   

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Arbre de décision et tableaux de distributions de probabilité

Avant de conclure ce guide, j’ai créé quelques tableaux et arbres de décision pour vous aider à choisir des distributions de probabilité appropriées pour vos budgets d’incertitude.

  
   

Tableau de décision basé sur le GUM

Le tableau ci-dessous est un tableau de décision basé sur les recommandations du GUM (JCGM 100:2008).

Cela constitue une excellente aide-mémoire pour caractériser les sources d’incertitude en :

1. Type d'incertitude et
2. Distribution de probabilité.

 

  
   

Arbre de décision basé sur le GUM

L'arbre de décision ou organigramme ci-dessous est similaire au tableau de décision ci-dessus. Il vous aidera à choisir une distribution de probabilité basée sur les recommandations du GUM (JCGM 100:2008).

Commencez simplement en haut à gauche de la décision et répondez aux questions de gauche à droite. En fonction de vos réponses, vous trouverez la distribution de probabilité de votre contributeur d'incertitude.

Si vous préférez les organigrammes aux tableaux, cela fonctionnera mieux pour vous.

  
   

Tableau de décision pour les sources courantes d'incertitude

Enfin, vous trouverez un tableau de décision pour les sources courantes d'incertitude que j'aborde dans plusieurs de mes guides . Il s'agit des facteurs d'incertitude que je recommande d'inclure dans la plupart des budgets d'incertitude . J'ai donc pensé qu'il serait utile de disposer d'un tableau de décision pour vous aider à choisir les distributions de probabilité appropriées pour chacune de ces incertitudes.

Pour utiliser le tableau, recherchez le contributeur d'incertitude dans la colonne la plus à gauche. Ensuite, examinez la colonne de distribution (c'est-à-dire la ^deuxième colonne) sur la même ligne pour déterminer la distribution de probabilité à utiliser.

S'il existe plusieurs options disponibles, consultez la colonne Notes/Commentaires (c'est-à-dire la ^4e colonne) sur la même ligne pour obtenir des informations qui vous aideront à choisir la bonne distribution pour votre incertitude.

De plus, j'ai inclus les diviseurs dans la ^troisième colonne, que vous devez utiliser pour convertir votre contributeur d'incertitude en incertitude type. Si plusieurs options sont disponibles, consultez la colonne Notes/Commentaires sur la même ligne pour vous aider à choisir le diviseur approprié.

Il s’agit d’une excellente aide-mémoire que j’ai commencé à inclure dans ma formation sur l’incertitude de mesure l’année dernière.

  
   

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Conclusion

Les distributions de probabilités jouent un rôle important dans la compréhension du comportement des fonctions, l'analyse des sources d'incertitude et la prévision des résultats futurs. C'est pourquoi elles constituent un élément essentiel de l'analyse de l'incertitude.

Si vous estimez l'incertitude de mesure sans tenir compte des distributions de probabilité, vous risquez de commettre des erreurs. Par conséquent, assurez-vous d'utiliser ce guide comme référence pour établir vos budgets d'incertitude.

Dans ce guide, vous devriez avoir appris ce qui suit :

1. Qu'est-ce qu'une distribution de probabilité,
2. Distributions courantes utilisées dans l'analyse d'incertitude,
3. Recommandations GUM pour le choix des distributions, et
4. Arbres de décision et organigrammes pour sélectionner la bonne distribution.

Enfin, regardez l'image ci-dessous. Il s'agit d'un aide-mémoire sur les distributions de probabilités , résumant les distributions abordées dans ce guide, y compris les diviseurs et les formules nécessaires pour convertir chacun de vos contributeurs en une incertitude type.

Dans l’ensemble, les informations contenues dans ce guide devraient vous aider à choisir en toute confiance les bonnes distributions la prochaine fois que vous estimerez l’incertitude .

J'espère que cet article vous a été utile pour votre analyse d'incertitude. Laissez-moi un commentaire et indiquez-moi les distributions de probabilité que vous utilisez dans votre analyse d'incertitude.

  
   

Cet article a été initialement publié le 28 octobre 2015 et mis à jour le 8 mars 2024.