Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Messunsicherheit

  
   

Einführung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind ein wichtiger Bestandteil der Messunsicherheitsanalyse, mit dem viele immer wieder zu kämpfen haben. Heute möchte ich Ihnen helfen, mehr über Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erfahren, ohne ein Statistiklehrbuch zur Hand nehmen zu müssen. Obwohl es Hunderte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt, die Sie verwenden können, konzentriere ich mich auf die sechs, die Sie kennen müssen.

Wenn Sie ständig mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu kämpfen haben, lesen Sie weiter. Ich erkläre, was Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, warum sie wichtig sind und wie sie Ihnen bei der Abschätzung der Messunsicherheit helfen können.

In diesem Handbuch werde ich die folgenden Informationen behandeln. Sie können vorwärts springen, indem Sie auf die folgenden Links klicken

 

  
   

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Gemäß JCGM 100:2008 Definition C.2.3 ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit) angibt, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt oder zu einem bestimmten Wertesatz gehört.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um die Definition von GUM zu sehen.

Einfach erklärt sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine Funktion, Tabelle oder Gleichung, die die Beziehung zwischen dem Ergebnis eines Ereignisses und seiner Auftrittshäufigkeit zeigt.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind hilfreich, da sie als grafische Darstellung Ihrer Messfunktionen und deren Verhalten dienen können. Wenn Sie die Leistung Ihrer Messfunktion in der Vergangenheit kennen, können Sie zukünftige Ergebnisse sicherer vorhersagen.

Bevor wir uns kopfüber in die verschiedenen Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen stürzen, wollen wir zunächst etwas mehr über Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfahren. In den nächsten Abschnitten erkläre ich einige wichtige Merkmale.

  
   

Histogramm

Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung, die zum Verständnis der Verteilung numerischer Daten verwendet wird.

Schauen Sie sich das Bild unten an. Es ist ein Histogramm einer Gauß- oder Normalverteilung.

Betrachten Sie das Histogramm und sehen Sie, wie der Großteil der erfassten Daten in der Mitte gruppiert ist. Dies wird als zentrale Tendenz bezeichnet.

Betrachten Sie nun die Höhe jedes Balkens im Histogramm. Die Höhe der Balken gibt an, wie häufig das dargestellte Ergebnis auftritt. Je höher der Balken, desto häufiger tritt es auf.

  
   

Schiefe

Die Schiefe ist ein Maß für die Symmetrie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das folgende Bild zeigt, wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen nach links oder rechts schief sein können.

  
   

Kurtosis

Kurtosis ist ein Maß für die Ausläufer und Spitzen im Vergleich zu einer Normalverteilung. Wie Sie der Abbildung unten entnehmen können, haben Verteilungen mit breiteren Ausläufern kleinere Spitzen, während Verteilungen mit größeren Spitzen schmalere Ausläufer haben. Erkennen Sie den Zusammenhang?

  
   

Warum ist es wichtig

Ich weiß, es scheint, als würde ich Sie dazu zwingen, mehr Informationen zu lesen, als Sie wissen möchten, aber es ist wichtig, diese Einzelheiten zu kennen, damit Sie die geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählen können, die Ihre Daten charakterisiert.

Wenn Sie sich über die Verteilung Ihrer Daten nicht sicher sind, erstellen Sie ein Histogramm Ihrer Daten und vergleichen Sie es mit den folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

  
   

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Messunsicherheit

Nachdem Sie nun wissen, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, erfahren Sie mehr über verschiedene Verteilungstypen. Die am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Abschätzung der Messunsicherheit sind:

• Normal,
• Rechteckig,
• Dreieck,
• U-förmig,
• Log-Normal und
• Rayleigh

In den folgenden Abschnitten erfahren Sie mehr über jede dieser Verteilungen. Ich werde allgemeine Informationen behandeln, die Sie zur Abschätzung der Messunsicherheit benötigen.

Nach der Lektüre dieses Artikels sollten Sie in der Lage sein, zu ermitteln, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen Sie in Ihrem Unsicherheitsbudget verwenden sollten und wie Sie Ihre Unsicherheitsbeiträge in Standardabweichungsäquivalente umwandeln (ein entscheidender Schritt bei der Schätzung der Unsicherheit).

  
   

Gaußsche (auch Normal-)Verteilung

  
   

Beschreibung

Die Normalverteilung ist eine Funktion, die die Verteilung vieler Zufallsvariablen als symmetrische Glockenkurve darstellt, bei der die Spitze um den Mittelwert zentriert ist und die Verteilung symmetrisch zur Standardabweichung verläuft.

Dies bedeutet, dass die Ergebnisse eher in der Nähe des Mittelwerts oder Durchschnitts auftreten und um den Mittelwert herum streuen, wobei die Ergebnisse, die weiter vom Mittelwert entfernt sind, weniger wahrscheinlich auftreten.

Die Normalverteilung ist die am häufigsten verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Auswertung von Unsicherheitsdaten des Typs A. Falls Sie nicht wissen, was Unsicherheit des Typs A ist: Es handelt sich um die Daten, die Sie durch experimentelle Tests sammeln, wie z. B. Tests zur Wiederholbarkeit , Reproduzierbarkeit und Stabilität.

Um ein besseres Verständnis zu bekommen, stellen Sie sich vor, Sie sammeln 100 Messproben und erstellen ein Histogramm mit Ihren Ergebnissen. Das Histogramm Ihrer Daten sollte einer Form ähneln, die einer Normalverteilung nahekommt.

Gemäß dem Zentralen Grenzwertsatz ähnelt Ihr Histogramm umso mehr einer Normalverteilung, je mehr Daten Sie erfassen.

Ich erwarte nicht, dass Sie bei jedem Wiederholbarkeits- und Reproduzierbarkeitstest 100 Proben sammeln. Stattdessen empfehle ich, zunächst 20 bis 30 Proben pro Wiederholbarkeitstest zu sammeln. Dies bietet Ihnen eine gute Ausgangsbasis und ermöglicht Ihnen, Ihre Daten mit einer Normalverteilung zu charakterisieren.

  
   

Divisor für Normalverteilung

Um eine normalverteilte Unsicherheit in eine Standardabweichung umzurechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung. Teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (U _i ) durch ihren Erweiterungsfaktor (k).

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit
k = Abdeckungsfaktor

Der Wert des Abdeckungsfaktors hängt vom Vertrauensniveau der Unsicherheitsabschätzung ab. In Anhang G des JCGM 100:2008 hilft Ihnen Tabelle G.1, den Abdeckungsfaktor für ein bestimmtes Vertrauensniveau zu ermitteln.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um Tabelle G.1 vom GUM anzuzeigen.

Aus der Tabelle können Sie ersehen, dass eine Standardabweichung aus einem Wiederholbarkeitstest ein Konfidenzniveau von 68,27 % und einen Abdeckungsfaktor von k=1 hätte.

Darüber hinaus werden Sie feststellen, dass die Unsicherheit in Ihren Kalibrierungsberichten ein Konfidenzniveau von 95,45 % und einen Abdeckungsfaktor von k=2 aufweist.

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei Normalverteilung

Beispiel 1: Standardabweichung vom Wiederholbarkeitstest

Wenn Sie beispielsweise 20 Proben für einen Wiederholbarkeitstest sammeln und die Standardabweichung berechnen, beträgt der Abdeckungsfaktor (k) 1. Er ist gleich 1, weil Ihre Standardabweichung auf dem 1-Sigma-Konfidenzniveau (d. h. 68,27 % KI) ausgedrückt wird.

Wenn Ihre Standardabweichung also 1 mg beträgt, teilen Sie sie durch einen Abdeckungsfaktor von 1 und Ihre Standardunsicherheit wäre gleich 1 mg.

Das Ergebnis würde keinen Wertverlust erleiden, da es bereits einer Standardabweichung entspricht.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um ein Beispiel für die Berechnung zu sehen.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen , verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
   

Beispiel 2: Erweiterte Unsicherheit aus einem Kalibrierungsbericht

Stellen Sie sich für das nächste Beispiel vor, Sie bewerten die Messunsicherheit anhand Ihres Kalibrierungsberichts. Die angegebene Unsicherheit sollte in einem 95%-Konfidenzintervall ausgedrückt werden, wobei k gleich 2 ist.

Wenn die in Ihrem Zertifikat angegebene Kalibrierunsicherheit 1 mg beträgt, teilen Sie sie durch den Erweiterungsfaktor 2. Die resultierende Standardunsicherheit wäre 0,5 mg.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um ein Beispiel für die Berechnung zu sehen.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
 
   

Rechteckige (auch als gleichmäßige) Verteilung bekannt

  
   

Beschreibung

Die Rechteckverteilung ist eine Funktion, die eine kontinuierliche Gleichverteilung und konstante Wahrscheinlichkeit darstellt. Bei einer Rechteckverteilung ist das Eintreten aller Ergebnisse gleich wahrscheinlich .

Die Rechteckverteilung ist die am häufigsten verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Unsicherheitsanalyse. Der Grund dafür liegt darin, dass sie die meisten Unsicherheitsfaktoren abdeckt, bei denen der Bewerter sagt: „Ich bin mir nicht sicher, wie die Daten verteilt sind.“

Wenn Sie sich über die Verteilung Ihrer Daten nicht sicher sind, ist es am besten, eine konservative Bewertung vorzunehmen.

In dieser Situation ist die Rechteckverteilung eine hervorragende Standardoption, weshalb sie von den meisten ISO/IEC 17025-Gutachtern empfohlen wird. Merken Sie sich die Rechteckverteilung gut, Sie werden diese Wahrscheinlichkeitsverteilung häufig verwenden.

  
   

Divisor für Rechteckverteilung

Um eine Unsicherheit mit einer Rechteckverteilung in ein Standardabweichungsäquivalent umzurechnen, verwenden Sie die unten angegebene Gleichung. Teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (U _i ) durch die Quadratwurzel aus drei (3).

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit

Alternativ kann es sein, dass Sie auf eine Rechteckverteilung stoßen und der Wert (x _i ) Ihrer Meinung nach der Mittelpunkt der Verteilung (oder die Hälfte der Verteilung) ist. In diesem Fall teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (U _i ) durch zwei mal die Quadratwurzel aus drei (3).

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit

Andernfalls könnten Sie die Unsicherheit (U _i ) durch die Quadratwurzel aus zwölf (12) teilen. Mathematisch ist das Ergebnis dasselbe.

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei Rechteckverteilung

Beispiel 1: Auflösung eines Messgerätes

Wenn Sie beispielsweise ein digitales Multimeter mit einer Auflösung von 1 mV haben, würden Sie die Instrumentenauflösung mit einer Rechteckverteilung charakterisieren und die Unsicherheit (U _i ) in eine Standardunsicherheit (u _i ) umwandeln, indem Sie die Unsicherheit durch die Quadratwurzel aus drei dividieren.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
   

Beispiel 2: Halbe Auflösung eines Messgerätes

Stellen Sie sich nun ein digitales Multimeter mit einer Auflösung von 1 mV vor und Sie möchten die Unsicherheit (U _i ) als die Hälfte der Auflösung (0,5R) betrachten.

Charakterisieren Sie dann die Instrumentenauflösung mit einer Rechteckverteilung und wandeln Sie die Unsicherheit (U _i ) in eine Standardunsicherheit (u _i ) um, indem Sie die Unsicherheit durch die Quadratwurzel aus zwölf dividieren.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
 
   

Dreiecksverteilung

  
   

Beschreibung

Die Dreiecksverteilung ist eine Funktion, die einen bekannten Minimal-, Maximal- und geschätzten Zentralwert darstellt.

Ähnlich wie die Rechteckverteilung wird die Dreiecksverteilung als „Mangel-Wissens-Verteilung“ bezeichnet. Sie wissen vielleicht nicht, wo sich der Wert (x _i ) innerhalb des Intervalls befindet, aber Sie glauben, dass er näher am Mittelwert (oder der Mitte des Intervalls) liegt als an den Grenzen.

Laut JCGM 100:2008 wird es als Alternative zur rechteckigen Verteilung empfohlen, da es eine realistischere Erwartung darstellt.

Ich werde später im nächsten Abschnitt zu GUM-Empfehlungen näher darauf eingehen.

  
   

Divisor für Dreiecksverteilung

Um eine Unsicherheit mit einer Dreiecksverteilung in ein Standardabweichungsäquivalent umzurechnen, verwenden Sie die unten angegebene Gleichung. Teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (U _i ) durch die Quadratwurzel aus sechs (6).

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei Dreiecksverteilung

Beispiel 1: Herstellerspezifikation

Wenn Sie beispielsweise eine kalibrierte Masse mit einem maximal zulässigen Fehler (MPE) von 1 mg verwenden, können Sie die Unsicherheit mit einer Dreiecksverteilung charakterisieren und die Unsicherheit (U _i ) in eine Standardunsicherheit (u _i ) umwandeln, indem Sie die Unsicherheit durch die Quadratwurzel aus sechs dividieren.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
 
   

U-förmige Verteilung

  
   

Beschreibung

Die U-förmige Verteilung ist eine Funktion, die Ergebnisse darstellt, die am wahrscheinlichsten an den Extremen des Bereichs auftreten. Die Verteilung hat die Form eines „U“, muss aber nicht unbedingt symmetrisch sein.

Die U-förmige Verteilung ist hilfreich, wenn Ereignisse häufig an den Extremen des Bereichs auftreten.

Denken Sie an den Thermostat, der die Temperatur in Ihrem Labor regelt. Die meisten Thermostatregler versuchen die Temperatur nur zu regeln, indem sie die Klimaanlage an den Extremwerten starten und stoppen.

  
   

Temperaturbeispiel für U-förmige Verteilung

Stellen Sie sich beispielsweise vor, Ihr Laborthermostat ist auf 20 °C eingestellt und regelt die Temperatur auf ±1 °C. Höchstwahrscheinlich aktiviert Ihr Thermostat Ihre HLK-Anlage erst, wenn die Labortemperatur 19 °C oder 21 °C erreicht. Das bedeutet, dass die Temperatur in Ihrem Labor normalerweise nicht 20 °C beträgt. Stattdessen schwanken die Temperaturen in Ihrem Labor um die Grenzwerte des Thermostats, bevor dieser aktiviert oder deaktiviert wird.

Aus diesem Grund könnten Sie Ihre Labortemperaturdaten mithilfe einer U-förmigen Verteilung charakterisieren. Die meisten Menschen bevorzugen jedoch bei Unsicherheiten im Zusammenhang mit der Umgebungstemperatur eine Rechteck- oder Dreiecksverteilung.

  
   

HF-Leistungsbeispiel für U-förmige Verteilung

Ein weiteres häufiges Beispiel für die Verwendung einer U-förmigen Verteilung ist die Fehlanpassungsunsicherheit bei HF-/Mikrowellen-Messfunktionen.

Im Bild unten sehen Sie die Tabelle mit den empfohlenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus dem Keysight-Handbuch: „Grundlagen der HF- und Mikrowellenleistungsmessung (Teil 3) “.

Die obige Tabelle enthält auch Empfehlungen für die Rayleigh-Verteilung. Ich werde im nächsten Abschnitt näher darauf eingehen.

  
   

Divisor für U-förmige Verteilung

Um eine Unsicherheit mit einer U-förmigen Verteilung in ein Standardabweichungsäquivalent umzurechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung. Teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (Ui) durch die Quadratwurzel aus zwei (2).

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei U-förmiger Verteilung

Beispiel 1: Mismatch-Unsicherheit

Stellen Sie sich vor, Sie verwenden einen HF-Leistungssensor, um den Ausgangsleistungspegel eines Signalgenerators zu messen. Wenn die Fehlanpassungsunsicherheit zwischen Sensor und Quelle auf 1 µW geschätzt wird, charakterisieren Sie die Unsicherheit mit einer U-förmigen Verteilung und wandeln Sie die Unsicherheit (U _i ) in eine Standardunsicherheit (u _i ) um, indem Sie die Unsicherheit durch die Quadratwurzel aus zwei dividieren.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
 
   

Rayleigh-Verteilung

  
   

Beschreibung

Rayleigh-Verteilungen werden verwendet, wenn die Größe eines Vektors mit seinen Richtungskomponenten (z. B. x und y) verknüpft ist , die sowohl reale als auch imaginäre Komponenten (z. B. i und j) enthalten können.

Wenn die Richtungskomponenten orthogonal (d. h. statistisch unabhängig) und normal verteilt sind, weist der resultierende Vektor eine Rayleigh-Verteilung auf.

  
   

Häufige Verwendungen der Rayleigh-Verteilung

Rayleigh-Verteilungen werden häufig in der elektrischen Messtechnik für HF- und Mikrowellenfunktionen verwendet. Darüber hinaus werden sie häufig in anderen Bereichen der Messtechnik eingesetzt, in denen zwei Vektoren beteiligt sind.

Wenn beispielsweise die Windgeschwindigkeit anhand ihrer zweidimensionalen Vektorkomponenten x und y analysiert wird, weist der resultierende Vektor eine Rayleigh-Verteilung auf. Dazu müssen x und y orthogonal und normalverteilt sein.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung einer Rayleigh-Verteilung zur Charakterisierung der Mismatch-Unsicherheit.

Im vorherigen Abschnitt habe ich gezeigt, dass sich die Fehlanpassungsunsicherheit mit einer U-förmigen Verteilung charakterisieren lässt. Im Keysight-Handbuch „Grundlagen der HF- und Mikrowellenleistungsmessung (Teil 3)“ heißt es jedoch, dass die U-förmige Verteilung die Unsicherheit wahrscheinlich überbewertet. Daher wird die Verwendung der Rayleigh-Verteilung zur Charakterisierung der Fehlanpassungsunsicherheit empfohlen, da diese realistischer ist.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um die Empfehlung zur Verwendung der Rayleigh-Verteilung aus dem Keysight-Handbuch „Grundlagen der HF- und Mikrowellenleistungsmessung (Teil 3)“ zu sehen.

  
   

Divisor für die Rayleigh-Verteilung

Um eine Unsicherheit mit einer Rayleigh-Verteilung in eine Standardabweichung umzurechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung. Teilen Sie die geschätzte Unsicherheit (Ui) durch die Quadratwurzel aus dem zweifachen natürlichen Logarithmus von 20.

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit
ln = natürlicher Logarithmus

In vielen Fällen benötigen Sie die Messunsicherheit jeder Richtungskomponente, um die Messunsicherheit der Vektorkomponente berechnen zu können. Anschließend können Sie die obige Gleichung verwenden, um Ihre Unsicherheitskomponente auf ein Äquivalent der Standardabweichung zu reduzieren.

Klicken Sie für eine bessere Erklärung auf den Link unten, um dieses Dokument von Michael Dobbert von Keysight Technologies zu lesen.

• Erneute Betrachtung der Mismatch-Unsicherheit mit der Rayleigh-Verteilung

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei der Rayleigh-Verteilung

Beispiel 1: Mismatch-Unsicherheit

Stellen Sie sich vor, Sie verwenden einen HF-Leistungssensor, um den Ausgangsleistungspegel eines Signalgenerators zu messen. Wenn die Fehlanpassungsunsicherheit zwischen Sensor und Quelle auf 1 µW geschätzt wird, charakterisieren Sie die Unsicherheit mit einer Rayleigh-Verteilung und wandeln Sie die Unsicherheit (U _i ) in eine Standardunsicherheit (u _i ) um, indem Sie die Unsicherheit durch die Quadratwurzel aus dem zweifachen natürlichen Logarithmus von 20 dividieren.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
 
   

Log-Normalverteilung

  
   

Beschreibung

Die Lognormalverteilung ist eine Funktion eines natürlichen Logarithmus , der normal verteilt ist.

Die Log-Normalverteilung ist eine häufig vorkommende, aber selten verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Meistens wird sie aufgrund mangelnden Wissens oder fehlender Software zur korrekten Auswertung der Daten nicht verwendet. Daher verwenden die meisten Anwender stattdessen die Normalverteilung.

Lognormalverteilungen eignen sich jedoch hervorragend zur Charakterisierung von:

• Asymmetrische Toleranzgrenzen,
• Messungen, die durch physikalische Grenzen eingeschränkt sind (z. B. Endmaß),
• Mikrobiologische Plattenzählungen (KBE) und
• Kurvenanpassungskoeffizienten.

  
   

Häufige Verwendungen der Log-Normalverteilung

Beispielsweise unterliegen viele Längen-, Höhen-, Gewichts- und Konzentrationsmessungen physikalischen Einschränkungen. Daher erhalten Sie wahrscheinlich Messergebnisse und Unsicherheiten, die durch eine logarithmische Normalverteilung charakterisiert werden sollten.

Stellen Sie sich vor, Sie messen die Länge eines Endmaßes. Nach wiederholten Messungen werden Sie wahrscheinlich mehr Ergebnisse sehen, die größer als die tatsächliche Länge des Endmaßes sind, als Ergebnisse, die kleiner als die tatsächliche Länge des Endmaßes sind. Dies liegt daran, dass die Länge des Endmaßes durch physikalische Grenzen begrenzt ist.

Ähnliche Ergebnisse werden wahrscheinlich auftreten, wenn Sie das Gewicht einer kalibrierten Masse messen. Sie werden wahrscheinlich mehr Ergebnisse erfassen, die größer als die tatsächliche Masse sind, und weniger Ergebnisse, die kleiner als die tatsächliche Masse sind. Dies liegt wiederum daran, dass die Masse an ihre physikalischen Grenzen gebunden ist.

In anderen Situationen liegen möglicherweise Messergebnisse vor, die zwar normal verteilt sind, sich aber auf eine log-normalverteilte Funktion beziehen.

Schauen Sie sich das Bild unten an, um die Beziehung zwischen Normal- und Lognormalverteilungen zu sehen.

  
   

Divisor für die Log-Normalverteilung

Um eine Unsicherheit mit einer Log-Normalverteilung in eine Standardabweichung umzurechnen, verwenden Sie die unten stehende Gleichung. Sie benötigen hierfür wahrscheinlich Software. Zusätzlich benötigen Sie den Median, den Formparameter und die physikalische Grenze

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
m = Median (Skalenparameter)
q = physikalische Grenze
σ = Formparameter

Weitere Informationen zur Log-Normalverteilung finden Sie in den folgenden Quellen:

• NIST SEMATECH, Abschnitt 1.3.6.6.9, „Lognormalverteilung“
• Integrated Sciences Group, „Fehlerverteilungsvarianzen und andere Statistiken“

Alternativ habe ich ein Dokument von Fluke Calibration gefunden, in dem eine logarithmisch-normale Verteilung in einem Unsicherheitsbudget verwendet wurde. Der von Fluke verwendete Divisor zur Umrechnung der Unsicherheit in ein Standardabweichungsäquivalent betrug 2,375.

Ich empfehle diese Methode als einfachere Option. Sehen Sie sich die folgende Gleichung an.

Wo,
u _i = Standardunsicherheit
U _i = erweiterte Unsicherheit

  
   

Beispiel für Standardunsicherheit bei logarithmischer Normalverteilung

Beispiel 1: Messen eines Endmaßes mit einem Messschieber

Stellen Sie sich vor, Sie messen die Länge eines Endmaßes mit einem Messschieber und die Unsicherheit beträgt 1 µm bei einer logarithmisch-normalen Verteilung. Rechnen Sie die Unsicherheit in eine Standardabweichung um, indem Sie sie durch 2,375 teilen.

Wenn Sie die Messunsicherheit mit Microsoft Excel berechnen, verwenden Sie die folgende Formel:

 

  
   

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So wählen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus –
Empfehlungen des GUM mit Entscheidungsregeln

In diesem Abschnitt zeige und erkläre ich Ihnen die Empfehlungen des JCGM 100:2008 (GUM), damit Sie die richtige Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählen können. Das GUM empfiehlt die folgenden Verteilungen und gibt Hinweise zu empfohlenen Anwendungsfällen.

1. Normalverteilung,
2. Rechteckige Verteilung,
3. Trapezförmige Verzerrung und
4. Dreiecksverteilung

  
   

Normalverteilung

Laut JCGM 100:2008 gibt es drei Bedingungen, unter denen die Auswahl einer Normalverteilung empfohlen wird. Diese vier Bedingungen umfassen:

1. Standardabweichung,
2. Vielfaches einer Standardabweichung,
3. Vertrauensniveau oder
4. Kombination mehrerer Faktoren

  
   

A) Standardabweichung

Wenn Ihre Unsicherheit eine Standardabweichung oder Standardabweichung vom Mittelwert ist, wählen Sie eine Normalverteilung.

 

Gemäß JCGM 100:2008 wird in den Abschnitten 4.2.3 und G2.2 erläutert, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Mittelwerts und einer Varianz (oder Standardabweichung) eine Normalverteilung ist.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt 4.2.3, zu sehen.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt G.2.2, zu sehen.

  
   

B) Vielfaches einer Standardabweichung

Wenn Ihre Unsicherheit als Vielfaches einer Standardabweichung ausgedrückt wird, wählen Sie eine Normalverteilung.

 

Gemäß JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.3, heißt es: Wenn eine Unsicherheitsschätzung als ein bestimmtes Vielfaches einer Standardabweichung angegeben wird, ist die Standardunsicherheit einfach der angegebene Wert geteilt durch den Multiplikator und die geschätzte Varianz ist das Quadrat des Quotienten.

Gemäß der GUM-Anweisung wird die Standardunsicherheit als Standardabweichung (d. h. Quadratwurzel der Varianz) betrachtet. Daher wird empfohlen, eine Normalverteilung auszuwählen.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.3, zu sehen.

  
   

C) Unsicherheit ausgedrückt in einem Konfidenzintervall

Wenn Ihre Unsicherheit auf einem bestimmten Konfidenzniveau ausgedrückt wird, wählen Sie eine Normalverteilung.

 

Laut JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.4, heißt es: „ Die angegebene Unsicherheit von x _i ist nicht unbedingt als Vielfaches einer Standardabweichung angegeben. Stattdessen kann angegeben werden, dass die angegebene Unsicherheit ein Intervall mit einem Konfidenzniveau von 90, 95 oder 99 Prozent definiert. Sofern nicht anders angegeben, kann davon ausgegangen werden, dass zur Berechnung der angegebenen Unsicherheit eine Normalverteilung verwendet wurde …“

Aus der GUM-Erklärung kann man schließen, dass eine Unsicherheit, die mit einem bestimmten Vertrauensniveau ausgedrückt wird, einer Normalverteilung unterliegt.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.4, zu sehen.

  
   

D) Unsicherheit, die sich aus einer Kombination von Faktoren ergibt

Wenn Ihre Unsicherheit als Kombination mehrerer beitragender Faktoren ausgedrückt wird, wählen Sie eine Normalverteilung.

 

Dies wird im Anhang G des JCGM 100:2008 empfohlen. Im Abschnitt G.2.2 liefert das GUM Informationen zum Zentralen Grenzwertsatz.

Wenn mehrere Unsicherheitsquellen mit jeweils eigener Wahrscheinlichkeitsverteilung kombiniert werden, ist die resultierende Verteilung eine Normalverteilung.

Das Beispiel unten im Abschnitt beschreibt, dass selbst bei der Kombination von nur drei rechteckigen Verteilungen immer noch eine Normalverteilung entsteht.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um Abschnitt G.2.2 aus JCGM 100:2008 zu sehen.

In der Abbildung unten sehen Sie ein Datenblatt für ein digitales Druckmessgerät. Darin wird angegeben, dass die Genauigkeitsspezifikation auf der Kombination mehrerer Faktoren basiert. Obwohl das Datenblatt weder ein Konfidenzniveau noch ein Vielfaches einer Standardabweichung angibt, können Sie dennoch aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes von einer Normalverteilung ausgehen.

  
   

Rechteckige Verteilung

Zusammenfassung: Grenzwerte ohne Kenntnis möglicher Werte oder Grenzwerte mit erwartetem Wert in der Nähe der Grenzwerte

Wenn Ihre Unsicherheit nur durch Grenzwerte abgeschätzt wird und keine spezifischen Kenntnisse über die möglichen Werte innerhalb des Intervalls vorliegen, kann man von einer Rechteckverteilung ausgehen.

 

Laut JCGM 100:2008 heißt es in Abschnitt 4.3.7: „ In anderen Fällen ist es unter Umständen möglich, nur Grenzen (obere und untere Grenzen) für X _i abzuschätzen, insbesondere die Aussage, dass ‚die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von X _i innerhalb des Intervalls a- bis a+ liegt, für alle praktischen Zwecke gleich eins ist und die Wahrscheinlichkeit, dass X _i außerhalb des Intervalls liegt, praktisch null ist.‘ Wenn keine genauen Kenntnisse über die möglichen Werte von X _i innerhalb des Intervalls vorliegen, kann man nur annehmen, dass es gleich wahrscheinlich ist, dass X _i irgendwo innerhalb des Intervalls liegt (eine gleichmäßige oder rechteckige Verteilung möglicher Werte). “

Aus der GUM-Erklärung kann man schließen, dass eine Unsicherheit, die nur durch Grenzwerte ausgedrückt wird, ohne Kenntnis des tatsächlichen Wertes innerhalb der Grenzwerte, eine Rechteckverteilung aufweist.

Dies gilt für Toleranzgrenzen, Akzeptanzgrenzen, maximal zulässige Fehler usw.

Viele Leitfäden, Fachleute und Gutachter behaupten, dass Herstellerspezifikationen und Toleranzen durch eine Rechteckverteilung gekennzeichnet sein sollten, sofern sie nicht die oben genannten Kriterien für Normalverteilungen erfüllen. Folgt man den Ausführungen des GUM, gilt die Rechteckverteilung nur, wenn die Unsicherheit ausschließlich anhand von Grenzwerten geschätzt wird, ohne den kalibrierten oder zertifizierten Wert zu berücksichtigen oder zu kennen.

Wenn Ihr Gerät jedoch kalibriert ist und Sie wissen, wo der kalibrierte oder zertifizierte Wert innerhalb der Grenzwerte liegt, können Sie möglicherweise eine andere Verteilung verwenden. Lesen Sie den nächsten Abschnitt, um mehr zu erfahren.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.7 zu sehen.

  
   

Dreieck- und Trapezverteilung

Zusammenfassung: Alternative zur Rechteckverteilung

Da eine Rechteckverteilung eine extreme und unrealistische Verteilung darstellt, schlägt der GUM in Abschnitt 4.3.9 alternative Möglichkeiten vor.

Wenn Ihre Unsicherheit nur durch Grenzwerte geschätzt wird und keine spezifischen Kenntnisse über die möglichen Werte innerhalb des Intervalls vorliegen , Sie aber erwarten, dass die Werte eher näher am Mittelpunkt als an den Grenzwerten liegen , können Sie von einer Trapez- oder Dreiecksverteilung ausgehen.

 

Laut JCGM 100:2008 heißt es in Abschnitt 4.3.9: „ Da keine genauen Kenntnisse über die möglichen Werte von X _i innerhalb der geschätzten Grenzen a_ bis a+ vorlagen, konnte man nur annehmen, dass es für X _i gleich wahrscheinlich ist, jeden Wert innerhalb dieser Grenzen anzunehmen, mit einer Wahrscheinlichkeit von null, außerhalb dieser Grenzen zu liegen. Solche Sprungfunktions-Unstetigkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sind oft unphysikalisch. In vielen Fällen ist es realistischer, anzunehmen, dass die Werte in der Nähe der Grenzen weniger wahrscheinlich sind als jene in der Nähe des Mittelpunkts. Es ist dann vernünftig, die symmetrische Rechteckverteilung durch eine symmetrische Trapezverteilung mit gleich abfallenden Seiten (ein gleichschenkliges Trapez), einer Basisbreite a+ – a- = 2a und einer oberen Breite 2aβ zu ersetzen, wobei 0 ≤ β ≤ 1. Für β → 1 nähert sich diese Trapezverteilung der Rechteckverteilung aus 4.3.7 an, während sie für β = 0 eine Dreiecksverteilung ist .”

Sehen Sie sich das Bild unten an, um einen Auszug aus JCGM 100:2008, Abschnitt 4.3.9, zu sehen.

Aus der GUM-Anweisung können Sie anstelle einer Rechteckverteilung eine Dreieck- oder Trapezverteilung wählen, obwohl Ihre Unsicherheit nur durch Grenzwerte geschätzt wird und Sie keine Ahnung haben, wo der tatsächliche Wert innerhalb der Grenzwerte liegt.

Ich bevorzuge diese Alternative. Ich habe rechteckige Verteilungen nie gern verwendet, da sie wahrscheinlich keine Datenpopulation repräsentieren. Es gibt jedoch viele andere, die anderer Meinung sind.

Wenn Sie statt der Rechteckverteilung die Trapez- oder Dreiecksverteilung verwenden möchten, empfehle ich Folgendes.

  
   

A) Dreiecksverteilung (üblich)

Die meisten Unsicherheitsleitfäden und -papiere verwenden die Dreiecksverteilung, nicht die Trapezverteilung. Ich würde daher die Verwendung der Dreiecksverteilung empfehlen. Die meisten Gutachter verlangen jedoch Belege für deren Verwendung.

Daher empfehle ich Ihnen, Ihre Kalibrierungszertifikate zu überprüfen. Liegt das Kalibrierungsergebnis unter 50 % der Toleranzgrenze , kann leicht behauptet werden, der Wert im Intervall liege näher am Mittelpunkt als an der Toleranzgrenze. Dies sollte Ihnen helfen, die Verwendung der Dreiecksverteilung zu begründen.

  
   

B) Trapezförmige Verteilung (nicht üblich)

Wenn Sie die Trapezverteilung verwenden möchten ( was nicht üblich ist ), gibt es meiner Meinung nach eine clevere Möglichkeit, sie zu nutzen. Viele Labore legen Entscheidungsregeln fest, um ihre Geräte anzupassen, wenn die Leistung beispielsweise 70 % der Toleranzgrenze (TL) überschreitet.

In diesem Szenario verwenden Sie die Toleranzgrenzen als Unsicherheit und charakterisieren diese mit einer Trapezverteilung, wobei β = 0,3 (d. h. (100 % - 70 %)/100 = 0,3) ist. Der Divisor zur Umrechnung Ihres Unsicherheitsbeitrags in eine Standardunsicherheit ist k = 2,007.

Diese Lösung ähnelt einer Normalverteilung, bei der die meisten Ergebnisse innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen (d. h. ein Konfidenzniveau von 68 %). Zum Vergleich: Eine Normalverteilung mit einem Konfidenzniveau von 95 % hat einen Divisor von k=2.

Aufgrund des Mehraufwands bei der Berechnung der Teiler und der mangelnden Akzeptanz von Messunsicherheitsrechnern und -software werden die meisten Menschen diese Verteilung jedoch nicht verwenden.

Tatsächlich habe ich es (noch) nie verwendet, obwohl ich es oft in Erwägung gezogen habe.

Falls Sie die Trapezverteilung verwenden möchten, habe ich ein Diagramm mit den Teilern der Verteilung (um Unsicherheit in Standardunsicherheit oder Standardabweichungsäquivalente umzurechnen) im Vergleich zum Betawert erstellt.

In der folgenden Tabelle werden Sie Folgendes feststellen:

1. Wenn Beta 0 ist, entspricht der Divisor einer Dreiecksverteilung und
2. Wenn Beta 1 ist, entspricht der Divisor einer Rechteckverteilung.

  
   

GUM-Kompromiss: Dreiecksverteilung

Abschließend möchte ich noch auf eine wichtige Empfehlung in Anhang F des JCGM 100:2008 hinweisen.

In Abschnitt F.2.3.3 bietet der GUM einen Kompromiss für den Fall, dass es zu Meinungsverschiedenheiten zwischen der Annahme einer Normalverteilung und einer Rechteckverteilung kommt . Im Streitfall empfiehlt der Leitfaden die Annahme einer Dreiecksverteilung.

Ich wollte diese Empfehlung weitergeben, da ich regelmäßig mit Gutachtern und anderen Fachleuten darüber debattiere, ob eine Toleranz oder Spezifikation durch eine Normal- oder Rechteckverteilung gekennzeichnet sein sollte.

Wenn Sie sich in einer Debatte befinden, kann dieser Abschnitt des GUM hilfreich sein.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um Abschnitt F.2.3.3 im JCGM 100:2008 zu sehen.

  
   

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Entscheidungsbaum und Tabellen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Bevor ich diesen Leitfaden abschließe, habe ich einige Entscheidungstabellen und Entscheidungsbäume erstellt, die Ihnen dabei helfen sollen, geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Ihre Unsicherheitsbudgets auszuwählen.

  
   

Entscheidungstabelle basierend auf dem GUM

Bei der folgenden Tabelle handelt es sich um eine Entscheidungstabelle, die auf Empfehlungen im GUM (JCGM 100:2008) basiert.

Es ist ein hervorragender Spickzettel zur Charakterisierung von Unsicherheitsquellen durch:

1. Unsicherheitstyp und
2. Wahrscheinlichkeitsverteilung.

 

  
   

Entscheidungsbaum basierend auf dem GUM

Der unten stehende Entscheidungsbaum bzw. das Flussdiagramm ähnelt der obigen Entscheidungstabelle. Er hilft Ihnen bei der Auswahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung basierend auf den Empfehlungen des GUM (JCGM 100:2008).

Beginnen Sie einfach oben links in der Entscheidung und beantworten Sie die Fragen von links nach rechts. Anhand Ihrer Antworten ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ihren Unsicherheitsfaktor.

Wenn Sie Flussdiagramme Tabellen vorziehen, ist dies für Sie die bessere Lösung.

  
   

Entscheidungstabelle für häufige Unsicherheitsquellen

Abschließend finden Sie eine Entscheidungstabelle für häufige Unsicherheitsquellen, die ich in vielen meiner Leitfäden beschreibe . Dies sind die Unsicherheitsfaktoren, die ich in den meisten Unsicherheitsbudgets empfehle. Daher dachte ich, eine Entscheidungstabelle wäre hilfreich, um Ihnen bei der Auswahl der richtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für jede dieser Unsicherheiten zu helfen.

Um die Tabelle zu verwenden, suchen Sie den Unsicherheitsfaktor in der Spalte ganz links. Schauen Sie sich anschließend die Verteilungsspalte (d. h. die ^zweite Spalte) in derselben Zeile an, um die zu verwendende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.

Wenn mehr als eine Option verfügbar ist, sehen Sie sich die Spalte „Anmerkungen/Kommentare“ (d. h ^{. 4.} Spalte) in der gleichen Zeile an, um Informationen zu erhalten, die Ihnen dabei helfen, die richtige Verteilung für Ihre Unsicherheit auszuwählen.

Zusätzlich habe ich in der ^dritten Spalte die Divisoren aufgeführt, die Sie zur Umrechnung Ihres Unsicherheitsbeitrags in eine Standardunsicherheit verwenden sollten. Sollten mehrere Optionen verfügbar sein, finden Sie in der Spalte „Anmerkungen/Kommentare“ in derselben Zeile Hilfe bei der Auswahl des richtigen Divisors.

Dies ist ein toller Spickzettel, den ich seit letztem Jahr in meiner Schulung zur Messunsicherheit verwende.

  
   

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Abschluss

Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind wichtig, um das Verhalten von Funktionen zu verstehen, Unsicherheitsquellen zu analysieren und zukünftige Ergebnisse vorherzusagen. Deshalb sind sie ein entscheidender Bestandteil der Unsicherheitsanalyse.

Wenn Sie die Messunsicherheit schätzen, ohne die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berücksichtigen, werden Sie Fehler machen. Nutzen Sie diesen Leitfaden daher unbedingt als Referenz bei der Erstellung Ihrer Unsicherheitsbudgets.

In diesem Handbuch sollten Sie Folgendes gelernt haben:

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung,
2. Häufig verwendete Verteilungen in der Unsicherheitsanalyse,
3. GUM-Empfehlungen für die Auswahl von Verteilungen und
4. Entscheidungsbäume und Flussdiagramme zur Auswahl der richtigen Verteilung.

Schauen Sie sich abschließend das Bild unten an. Es handelt sich um einen Spickzettel zur Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer Zusammenfassung der in diesem Handbuch behandelten Verteilungen, einschließlich der Teiler und Formeln, die zur Umrechnung jedes Ihrer Beitragsfaktoren in eine Standardunsicherheit erforderlich sind.

Insgesamt sollten Ihnen die Informationen in diesem Handbuch dabei helfen, bei Ihrer nächsten Schätzung der Unsicherheit sicher die richtigen Verteilungen auszuwählen.

Ich hoffe, dieser Artikel hat Ihnen bei Ihrer Unsicherheitsanalyse geholfen. Hinterlassen Sie mir einen Kommentar und teilen Sie mir mit, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen Sie in Ihrer Unsicherheitsanalyse verwenden.

  
   

Dieser Artikel wurde ursprünglich am 28. Oktober 2015 veröffentlicht und am 8. März 2024 aktualisiert.