مثال على رسم بياني لتوزيع الاحتمالات اللوغاريتمية الطبيعية

  
   

مقدمة

تُعدّ توزيعات الاحتمالات جزءًا مهمًا من تحليل عدم اليقين في القياس، وهو أمرٌ يواجه صعوبةً مستمرةً في فهمه. هدفي اليوم هو مساعدتك على معرفة المزيد عن توزيعات الاحتمالات دون الحاجة إلى الاستعانة بكتاب إحصائي. مع أن هناك مئات التوزيعات الاحتمالية التي يمكنك استخدامها، سأركز على التوزيعات الستة التي تحتاج إلى معرفتها.

إذا كنت تواجه صعوبة في فهم توزيعات الاحتمالات باستمرار، فتابع القراءة. سأشرح لك ماهية توزيعات الاحتمالات، وأهميتها، وكيف تساعدك في تقدير عدم اليقين في القياس.

في هذا الدليل، سأغطي المعلومات التالية. يمكنك الانتقال مباشرةً إلى الرابط أدناه.

 

  
   

توصيات من GUM ، و

وفقًا لـ JCGM 100:2008 التعريف C.2.3، فإن توزيع الاحتمالات هو دالة تعطي الاحتمال (احتمالية) أن يأخذ متغير عشوائي أي قيمة معينة أو ينتمي إلى مجموعة معينة من القيم.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية التعريف من GUM.

ببساطة، توزيعات الاحتمالات هي عبارة عن دالة أو جدول أو معادلة توضح العلاقة بين نتيجة حدث ما وتكرار حدوثه.

توزيعات الاحتمالات مفيدة لأنها تُمثل بيانيًا دوال القياس وكيفية عملها. عندما تعرف أداء دالة القياس سابقًا، يمكنك التنبؤ بالنتائج المستقبلية بثقة أكبر.

قبل الخوض في أنواع توزيعات الاحتمالات المختلفة، دعونا أولاً نتعرف على المزيد عنها. في الفقرات القليلة القادمة، سأشرح بعض خصائصها التي ينبغي أن تعرفها.

  
   

الهيستوجرام

يُعد الهيستوجرام تمثيلًا رسوميًا يستخدم لفهم كيفية توزيع البيانات الرقمية.

انظر إلى الصورة أدناه. إنها رسم بياني لتوزيع غاوسي أو طبيعي.

انظر إلى الهيستوغرام ولاحظ كيف تُجمّع معظم البيانات المُجمّعة في المركز. وهذا ما يُسمى بالنزعة المركزية.

انظر الآن إلى ارتفاع كل عمود في الهيستوجرام. يشير ارتفاع الأعمدة إلى مدى تكرار حدوث النتيجة التي يمثلها. كلما كان العمود أطول، زاد تكرار حدوثها.

  
   

الانحراف

الانحراف هو مقياس لتماثل توزيعات الاحتمالات. انظر إلى الصورة أدناه لترى كيف يمكن أن تتجه توزيعات الاحتمالات نحو اليسار أو اليمين.

  
   

التفرطح

التفرطح هو مقياس للذيول والذروة بالنسبة للتوزيع الطبيعي. كما ترى في الصورة أدناه، التوزيعات ذات الذيول الأعرض لها ذيول أصغر، بينما التوزيعات ذات الذرى الأكبر لها ذيول أضيق. هل تلاحظ العلاقة؟

  
   

نموذج نظام إدارة الجودة ISO/IEC 17025

أعلم أن الأمر يبدو وكأنني أجعلك تقرأ المزيد من المعلومات التي تريد معرفتها، ولكن من المهم معرفة هذه التفاصيل حتى تتمكن من تحديد توزيع الاحتمالات المناسب الذي يميز بياناتك.

إذا لم تكن متأكدًا من كيفية توزيع بياناتك، فقم بإنشاء رسم بياني لبياناتك وقارنه بتوزيعات الاحتمالات التالية.

  
   

---

  
   

مثال على رسم بياني لتوزيع الاحتمالات اللوغاريتمية الطبيعية

بعد أن تعرفت على توزيع الاحتمالات، لنتعرف أكثر على أنواعها المختلفة. توزيعات الاحتمالات الأكثر استخدامًا لتقدير عدم اليقين في القياس هي:

• طبيعي،
• مستطيلة،
• مثلث،
• على شكل حرف U،
• لوغاريتمي طبيعي، و
• رايلي

في الأقسام التالية، ستتعلم المزيد عن كلٍّ من هذه التوزيعات. سأغطي المعلومات العامة اللازمة لتقدير عدم اليقين في القياس.

بعد قراءة هذه المقالة، يجب أن تكون قادرًا على تحديد توزيعات الاحتمالات التي يجب عليك استخدامها في ميزانية عدم اليقين الخاصة بك وكيفية تحويل المساهمين في عدم اليقين إلى ما يعادل الانحراف المعياري (خطوة مهمة لتقدير عدم اليقين).

  
   

القاسم للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

  
   

وصف

التوزيع الطبيعي هو دالة تمثل توزيع العديد من المتغيرات العشوائية على شكل رسم بياني جرسي متماثل حيث يتركز الذروة حول المتوسط ويتم توزيعها بشكل متماثل وفقًا للانحراف المعياري.

وهذا يعني أن النتائج من المرجح أن تحدث بالقرب من المتوسط أو المعدل وتنتشر حول المتوسط حيث تكون النتائج الأبعد عن المتوسط أقل احتمالا للحدوث.

التوزيع الطبيعي هو توزيع الاحتمالات الأكثر استخدامًا لتقييم بيانات عدم اليقين من النوع أ . إذا كنت لا تعرف ما هو عدم اليقين من النوع أ، فهو البيانات التي تجمعها من الاختبارات التجريبية، مثل اختبارات التكرار ، وإمكانية إعادة الإنتاج ، واختبارات الاستقرار.

لفهم أفضل، تخيّل أنك ستجمع 100 عينة قياس وتنشئ رسمًا بيانيًا عموديًا لنتائجك. يجب أن يشبه الرسم البياني العمودي لبياناتك شكلًا قريبًا من التوزيع الطبيعي.

وفقًا لنظرية الحد المركزي ، كلما زادت البيانات التي تجمعها، أصبح الرسم البياني الخاص بك أقرب إلى التشابه مع التوزيع الطبيعي.

لا أتوقع منك جمع 100 عينة في كل مرة تُجري فيها اختبار التكرار وقابلية إعادة الإنتاج. بل أنصحك بالبدء بجمع 20 إلى 30 عينة لكل اختبار تكرار. سيمنحك هذا أساسًا جيدًا للبدء، ويسمح لك بتوصيف بياناتك باستخدام التوزيع الطبيعي.

  
   

عدم اليقين في كيمياء القياس

لتحويل عدم اليقين الموزع طبيعيًا إلى ما يعادله من الانحراف المعياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. اقسم عدم اليقين المقدر (U _i ) على عامل تغطيته (k).

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع
ك = عامل التغطية

تعتمد قيمة مُعامل التغطية على مستوى الثقة المُرتبط بتقدير عدم اليقين. في الملحق "ز" من JCGM 100:2008، سيساعدك الجدول "ز.1" على إيجاد مُعامل التغطية المُرتبط بمستوى ثقة مُحدد.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية الجدول G.1 من GUM.

من الجدول، يمكنك أن ترى أن الانحراف المعياري لاختبار التكرار سيكون له مستوى ثقة 68.27% وعامل تغطية k=1.

بالإضافة إلى ذلك، ستجد أن عدم اليقين في تقارير المعايرة لديك يتمتع بمستوى ثقة بنسبة 95.45% وعامل تغطية k=2.

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي للتوزيع الطبيعي

المثال 1: الانحراف المعياري من اختبار التكرار

على سبيل المثال، إذا جمعت 20 عينة لاختبار التكرار وحسبت الانحراف المعياري، فإن عامل التغطية (k) يساوي 1. وهو يساوي 1 لأن الانحراف المعياري الخاص بك يتم التعبير عنه عند مستوى ثقة 1 سيجما (أي 68.27% فاصل ثقة).

لذا، إذا كان الانحراف المعياري لديك هو 1 ملغ، فستقسمه على عامل التغطية 1 وسيكون عدم اليقين المعياري لديك مساويًا لـ 1 ملغ.

لن يكون للنتيجة أي انخفاض في القيمة لأنها تساوي بالفعل الانحراف المعياري.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مثال للحساب.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel ، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
   

المثال 2: عدم اليقين الموسع من تقرير المعايرة

في المثال التالي، تخيّل أنك تُقيّم عدم اليقين في القياس من تقرير المعايرة. يجب التعبير عن عدم اليقين المُبلغ عنه بفاصل ثقة 95%، حيث k = 2.

إذا كانت درجة عدم اليقين في المعايرة المذكورة في شهادتك 1 ملغ، فيجب عليك تقسيمها على عامل التغطية 2. وستكون درجة عدم اليقين القياسية الناتجة مساوية لـ 0.5 ملغ.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مثال للحساب.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
 
   

حل مشكلة GUM: توزيع المثلث

  
   

وصف

التوزيع المستطيلي دالة تُمثل توزيعًا منتظمًا مستمرًا واحتمالًا ثابتًا. في التوزيع المستطيلي، تكون احتمالية حدوث جميع النتائج متساوية .

التوزيع المستطيلي هو توزيع الاحتمالات الأكثر استخدامًا في تحليل عدم اليقين. إذا كنت تتساءل عن السبب، فذلك لأنه يغطي معظم عوامل عدم اليقين حيث يقول المُقيِّم: "لست متأكدًا من كيفية توزيع البيانات".

عندما لا تكون واثقًا من كيفية توزيع بياناتك، فمن الأفضل تقييمها بشكل متحفظ.

في هذه الحالة، يُعدّ التوزيع المستطيلي خيارًا افتراضيًا ممتازًا، ولذلك يوصي به معظم مُقيّمي ISO/IEC 17025. لذا، تأكد من تذكر التوزيع المستطيلي، لأنك ستستخدم هذا التوزيع الاحتمالي كثيرًا.

  
   

قاسم توزيع رايلي

لتحويل عدم اليقين في التوزيع المستطيلي إلى ما يعادله من الانحراف المعياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. اقسم عدم اليقين المقدر (U _i ) على الجذر التربيعي لثلاثة (3).

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع

بدلاً من ذلك، قد تواجه توزيعًا مستطيلًا حيث تعتقد أن القيمة (x _i ) هي نقطة المنتصف للتوزيع (أو نصف التوزيع). عند حدوث ذلك، اقسم تقدير عدم اليقين (U _i ) على ضعف الجذر التربيعي لثلاثة (3).

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع

بخلاف ذلك، يمكنك قسمة عدم اليقين (U _i ) على الجذر التربيعي للعدد 12 (12). رياضيًا، النتيجة هي نفسها.

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي للتوزيع المستطيلي

المثال 1: دقة جهاز القياس

على سبيل المثال، إذا كان لديك مقياس متعدد رقمي بدقة 1 مللي فولت، فسوف تقوم بتوصيف دقة الجهاز بتوزيع مستطيل وتحويل عدم اليقين (U _i ) إلى عدم يقين قياسي (u _i ) عن طريق قسمة عدم اليقين على الجذر التربيعي لثلاثة.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
   

المثال 2: نصف دقة جهاز القياس

الآن، تخيل أن لديك مقياسًا متعددًا رقميًا بدقة 1 مللي فولت وتريد أن تعتبر عدم اليقين (U _i ) بمثابة نصف الدقة (0.5R).

ثم قم بتوصيف دقة الجهاز باستخدام التوزيع المستطيلي وقم بتحويل عدم اليقين (U _i ) إلى عدم يقين قياسي (u _i ) عن طريق قسمة عدم اليقين على الجذر التربيعي لـ 12.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
 
   

توزيع المثلث

  
   

وصف

توزيع المثلث هو دالة تمثل الحد الأدنى المعروف والحد الأقصى والقيمة المركزية المقدرة .

على غرار التوزيع المستطيلي، يُشار إلى التوزيع المثلثي بتوزيع "نقص المعرفة". قد لا تعرف مكان القيمة (x _i ) ضمن الفترة، ولكنك تعتقد أنها أقرب إلى المتوسط (أو مركز الفترة) من حدودها.

وفقًا لـ JCGM 100:2008، يوصى به كبديل للتوزيع المستطيل لأنه توقع أكثر واقعية.

سأتحدث أكثر عن هذا لاحقًا في القسم التالي حول توصيات GUM .

  
   

القاسم للتوزيع المستطيلي

لتحويل عدم اليقين بتوزيع مثلثي إلى ما يعادله من الانحراف المعياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. اقسم عدم اليقين المقدر (U _i ) على الجذر التربيعي لستة (6).

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي لتوزيع المثلث

المثال 1: مواصفات الشركة المصنعة

على سبيل المثال، إذا كنت تستخدم كتلة معايرة بخطأ أقصى مسموح به (MPE) يبلغ 1 ملغ، فيمكنك تحديد عدم اليقين باستخدام توزيع مثلث وتحويل عدم اليقين (U _i ) إلى عدم يقين قياسي (u _i ) عن طريق قسمة عدم اليقين على الجذر التربيعي لستة.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
 
   

توزيع على شكل حرف U

  
   

وصف

التوزيع على شكل حرف U هو دالة تمثل النتائج الأكثر احتمالاً للحدوث عند أقصى حدود النطاق . يأخذ التوزيع شكل حرف U، ولكن ليس بالضرورة أن يكون متماثلاً.

يعد التوزيع على شكل حرف U مفيدًا عندما تحدث الأحداث بشكل متكرر في أقصى النطاق.

فكّر في منظم الحرارة الذي يتحكم بدرجة حرارة مختبرك. عادةً، تحاول معظم وحدات التحكم في درجة الحرارة التحكم في درجة الحرارة فقط عن طريق تشغيل وإيقاف نظام التدفئة والتهوية وتكييف الهواء عند أقصى درجات الحرارة.

  
   

ما هو توزيع الاحتمالات؟

على سبيل المثال، تخيّل أن منظم الحرارة في مختبرك مضبوط على ٢٠ درجة مئوية، ويتحكم بدرجة الحرارة عند ±١ درجة مئوية. على الأرجح، لن يُفعّل منظم الحرارة نظام التدفئة والتهوية وتكييف الهواء إلا عندما تصل درجة حرارة المختبر إلى ١٩ أو ٢١ درجة مئوية. هذا يعني أن درجة حرارة مختبرك لا تكون عادةً ٢٠ درجة مئوية، بل تبقى حول حدود منظم الحرارة قبل تفعيله أو إيقافه.

لهذا السبب، يمكنك وصف بيانات درجة حرارة مختبرك باستخدام توزيع على شكل حرف U. مع ذلك، يُفضل معظم الناس استخدام توزيع مستطيل أو مثلثي للحالات غير المؤكدة المتعلقة بدرجة حرارة البيئة.

  
   

مثال على طاقة التردد اللاسلكي للتوزيع على شكل حرف U

مثال آخر شائع لاستخدام التوزيع على شكل حرف U هو عدم اليقين بشأن عدم التطابق في وظائف القياس RF/الميكروويف.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية جدول توزيعات الاحتمالات الموصى بها من دليل Keysight: "أساسيات قياسات طاقة التردد اللاسلكي والموجات الدقيقة (الجزء 3) ".

يتضمن الجدول أعلاه أيضًا توصياتٍ لتوزيع رايلي. سأناقش هذا بمزيدٍ من التفصيل في القسم التالي.

  
   

القاسم لتوزيع المثلث

لتحويل عدم اليقين بتوزيع على شكل حرف U إلى ما يعادله من حيث الانحراف المعياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. اقسم عدم اليقين المقدر (Ui) على الجذر التربيعي لاثنين (2).

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي للتوزيع على شكل حرف U

دليل مجاني لعدم اليقين في القياس

تخيل أنك تستخدم مستشعر طاقة ترددات الراديو لقياس مستوى طاقة خرج مولد إشارة. إذا قُدِّر عدم اليقين في عدم التطابق بين المستشعر والمصدر بـ 1 ميكروواط، فحدد عدم اليقين بتوزيع على شكل حرف U، ثم حوّل عدم اليقين (U _i ) إلى عدم يقين قياسي (u _i ) بقسمة عدم اليقين على الجذر التربيعي لاثنين.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
 
   

توزيع رايلي

  
   

وصف

تُستخدم توزيعات رايلي عندما يرتبط حجم المتجه بمكوناته الاتجاهية (مثل x و y)، والتي يمكن أن تتضمن مكونات حقيقية وتخيلية (مثل i و j).

عندما تكون المكونات الاتجاهية متعامدة (أي مستقلة إحصائيًا) وموزعة بشكل طبيعي، سيكون للمتجه الناتج توزيع رايلي.

  
   

التوزيعات الشائعة المستخدمة في تحليل عدم اليقين،

تُستخدم توزيعات رايلي بشكل شائع في علم القياس الكهربائي لدوال الترددات الراديوية والموجات الدقيقة. كما تُستخدم أيضًا في مجالات أخرى من علم القياس تتضمن متجهين.

على سبيل المثال، عند تحليل سرعة الرياح باستخدام مُركّبَي متجهيها ثنائيي الأبعاد، x وy، يكون للمتجه الناتج توزيع رايلي. ولكي يحدث هذا، يجب أن يكون x وy متعامدين وموزعين توزيعًا طبيعيًا.

مثال آخر لاستخدام توزيع رايلي لتوصيف عدم اليقين في عدم التطابق.

في القسم السابق، أوضحتُ لكم إمكانية توصيف عدم اليقين الناتج عن عدم التطابق باستخدام توزيع على شكل حرف U. مع ذلك، يُشير دليل Keysight: "أساسيات قياسات طاقة الترددات الراديوية والموجات الدقيقة (الجزء 3)" إلى أن التوزيع على شكل حرف U يُحتمل أن يُبالغ في تقدير عدم اليقين. لذا، يُنصح باستخدام توزيع رايلي لتوصيف عدم اليقين الناتج عن عدم التطابق لأنه أكثر واقعية.

انظر إلى الصورة أدناه لترى التوصية باستخدام توزيع رايلي من دليل Keysight: "أساسيات قياسات طاقة التردد اللاسلكي والموجات الدقيقة (الجزء 3)."

  
   

القاسم للتوزيع الطبيعي

لتحويل عدم اليقين بتوزيع رايلي إلى ما يعادله من حيث الانحراف المعياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. اقسم عدم اليقين المقدر (Ui) على الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ 20.

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع
ln = اللوغاريتم الطبيعي

في كثير من الحالات، ستحتاج إلى معرفة عدم اليقين في قياس كل مكون اتجاهي لحساب عدم اليقين في قياس مكون المتجه. بعد ذلك، يمكنك استخدام المعادلة أعلاه لتخفيض مكون عدم اليقين إلى ما يعادله من الانحراف المعياري.

للحصول على شرح أفضل، انقر على الرابط أدناه لقراءة هذه الورقة التي كتبها مايكل دوبيرت من Keysight Technologies.

• إعادة النظر في عدم اليقين في عدم التطابق باستخدام توزيع رايلي

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي لتوزيع رايلي

دليل مجاني لعدم اليقين في القياس

تخيل أنك تستخدم مستشعر طاقة ترددات الراديو لقياس مستوى طاقة خرج مولد إشارة. إذا قُدِّر عدم اليقين في عدم التطابق بين المستشعر والمصدر بـ 1 ميكروواط، فحدد عدم اليقين باستخدام توزيع رايلي، ثم حوّل عدم اليقين (U _i ) إلى عدم يقين قياسي (u _i ) بقسمة عدم اليقين على الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ 20.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
 
   

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

  
   

وصف

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو دالة للوغاريتم الطبيعي الذي يتم توزيعه بشكل طبيعي.

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو توزيع احتمالي شائع الاستخدام، ولكنه نادر الاستخدام. في أغلب الأحيان، لا يُستخدم بسبب نقص المعرفة أو نقص البرامج اللازمة لتقييم البيانات بشكل صحيح. لذلك، يستخدم معظم الناس التوزيع الطبيعي بدلاً منه.

ومع ذلك، فإن توزيعات Log-Normal رائعة لتوصيف:

• حدود التسامح غير المتماثلة،
• القياسات المقيدة بالحدود الفيزيائية (على سبيل المثال كتلة القياس)،
• مثال لدرجة الحرارة للتوزيع على شكل حرف U
• معاملات ملائمة المنحنى.

  
   

الاستخدامات الشائعة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

على سبيل المثال، قد تنطوي العديد من قياسات الطول والارتفاع والوزن والتركيز على قيود فيزيائية. لذلك، من المرجح أن تحصل على نتائج قياسات وشكوك ينبغي وصفها بتوزيع لوغاريتمي طبيعي.

تخيل أنك تقيس طول كتلة قياس. بعد إجراء قياسات متكررة ، من المرجح أن ترى نتائج أكبر من الطول الفعلي للكتلة أكثر من النتائج الأصغر منها. ويرجع ذلك إلى أن طول الكتلة مقيد بحدوده الفيزيائية.

من المرجح أن تحصل على نتائج مماثلة عند قياس وزن كتلة معايرة. من المرجح أن تسجل نتائج أكثر من الكتلة الفعلية، ونتائج أقل منها. ويعود ذلك أيضًا إلى أن الكتلة مقيدة بحدودها الفيزيائية.

في مواقف أخرى، قد يكون لديك نتائج قياس موزعة بشكل طبيعي ولكنها مرتبطة بوظيفة لوغاريتمية طبيعية.

انظر إلى الصورة أدناه لترى العلاقة بين التوزيع الطبيعي والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.

  
   

مثال على رسم بياني لتوزيع رايلي

لتحويل عدم اليقين بتوزيع لوغاريتمي طبيعي إلى مكافئ انحراف معياري، استخدم المعادلة الموضحة أدناه. على الأرجح، ستحتاج إلى برنامج لمساعدتك في حساب ذلك. بالإضافة إلى ذلك، ستحتاج إلى معرفة الوسيط، ومعامل الشكل، والحد الفيزيائي.

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
م = المتوسط (معامل المقياس)
q = الحد الفيزيائي
σ = معامل الشكل

يمكنك معرفة المزيد عن توزيع Log-Normal من المصادر التالية:

• NIST SEMATECH، القسم 1.3.6.6.9، "التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي"
• مجموعة العلوم المتكاملة، "تباينات توزيع الأخطاء والإحصاءات الأخرى"

بدلاً من ذلك، وجدتُ بحثاً من Fluke Calibration استخدم توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً في موازنة عدم اليقين. وكان المقسوم الذي استخدمه Fluke لتحويل عدم اليقين إلى مكافئ انحراف معياري هو 2.375.

الآن، أنصح بهذه الطريقة كخيار أسهل. انظر إلى المعادلة أدناه.

أين،
u _i = عدم اليقين القياسي
U _i = عدم اليقين الموسع

  
   

مثال على عدم اليقين القياسي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

المثال 1: قياس كتلة القياس باستخدام الفرجار

تخيل أنك تستخدم فرجارًا لقياس طول كتلة قياس، وكان عدم اليقين ميكرومترًا واحدًا بتوزيع لوغاريتمي طبيعي. حوّل عدم اليقين إلى انحراف معياري بقسمته على 2.375.

إذا قمت بحساب عدم اليقين في القياس باستخدام Microsoft Excel، فستستخدم الصيغة التالية:

 

  
   

---

  
   

كيفية اختيار توزيعات الاحتمالات
توصيات من GUM مع قواعد القرار

في هذا القسم، سأعرض وأشرح توصيات JCGM 100:2008 (أي GUM) لتتمكن من اختيار توزيع الاحتمالات المناسب. يوصي GUM بالتوزيعات التالية ويقدم إرشادات حول حالات الاستخدام الموصى بها.

1. التوزيع الطبيعي
2. التوزيع المستطيلي
3. التشوه شبه المنحرف، و
4. توزيع المثلث

  
   

التوزيع الطبيعي

وفقًا لمعيار JCGM 100:2008، يُنصح بتوفر ثلاثة شروط لاختيار التوزيع الطبيعي. وتشمل هذه الشروط:

1. الانحراف المعياري
2. صيغة عدم اليقين المعيارية لتوزيع المثلث
3. أ) توزيع المثلث (الشائع)
4. مزيج من عوامل متعددة

  
   

أ) الانحراف المعياري

إذا كان عدم اليقين لديك هو الانحراف المعياري أو الانحراف المعياري للمتوسط ، فحدد التوزيع الطبيعي.

 

وفقًا لـ JCGM 100:2008، يناقش القسمان 4.2.3 وG2.2 توزيع الاحتمالات للمتوسط والتباين (أو الانحراف المعياري) وهو توزيع طبيعي.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم 4.2.3.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم G.2.2.

  
   

ب) مضاعفات الانحراف المعياري

إذا تم التعبير عن حالة عدم اليقين لديك كمضاعف للانحراف المعياري ، فاختر التوزيع الطبيعي.

 

وفقًا لـ JCGM 100:2008، تنص المادة 4.3.3 على أنه إذا تم ذكر تقدير عدم اليقين كمضاعف معين للانحراف المعياري، فإن عدم اليقين المعياري هو ببساطة القيمة المذكورة مقسومة على المضاعف، والتباين المقدر هو مربع الحاصل.

بناءً على بيان GUM، يُعتبر عدم اليقين المعياري انحرافًا معياريًا (أي الجذر التربيعي للتباين). لذلك، يُنصح باختيار توزيع طبيعي.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم 4.3.3.

  
   

ج) عدم اليقين المعبر عنه عند فاصل الثقة

إذا تم التعبير عن عدم اليقين الخاص بك عند مستوى معين من الثقة ، فحدد التوزيع الطبيعي.

 

وفقًا للمعيار JCGM 100:2008، ينص القسم 4.3.4 على أن " عدم اليقين المذكور لـ x _i لا يُعطى بالضرورة كمضاعف للانحراف المعياري. بل قد يُذكر أن عدم اليقين المذكور يُحدد فترةً ذات مستوى ثقة 90 أو 95 أو 99%. ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُمكن افتراض استخدام توزيع طبيعي لحساب عدم اليقين المذكور ..."

من بيان GUM، يمكن افتراض أن حالة عدم اليقين المعبر عنها عند مستوى معين من الثقة لها توزيع طبيعي.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم 4.3.4.

  
   

د) عدم اليقين المعبر عنه في مجموعة من العوامل

إذا تم التعبير عن حالة عدم اليقين لديك كمزيج من عدة عوامل مساهمة ، فاختر التوزيع الطبيعي.

 

يُوصى بهذا في الملحق G من JCGM 100:2008 . في القسم G.2.2، يُقدم GUM معلومات حول نظرية الحد المركزي.

عندما يتم دمج عدة مصادر لعدم اليقين ، كل منها له توزيع احتمالي خاص به، فإن التوزيع الناتج هو توزيع طبيعي.

يصف المثال الموجود في أسفل القسم أن الجمع بين ما لا يقل عن ثلاثة توزيعات مستطيلة سيؤدي إلى الحصول على توزيع طبيعي.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية القسم G.2.2 من JCGM 100:2008.

في الصورة أدناه، سترى ورقة بيانات لمقياس ضغط رقمي تُشير إلى أن دقة المواصفات تعتمد على مجموعة من العوامل . على الرغم من أن ورقة البيانات لا تُحدد مستوى ثقة أو مُضاعف الانحراف المعياري، إلا أنه يُمكنك افتراض توزيع طبيعي بناءً على نظرية الحد المركزي.

  
   

التوزيع المستطيلي

ملخص: حدود بدون معرفة القيم المحتملة أو حدود بقيمة متوقعة قريبة من الحدود

إذا تم تقدير عدم اليقين لديك فقط من خلال الحدود ولم تكن هناك معرفة محددة حول القيم المحتملة ضمن الفاصل الزمني، فيمكننا افتراض توزيع مستطيل.

 

وفقًا لـ JCGM 100:2008، ينص القسم 4.3.7 على أنه " في حالات أخرى، قد يكون من الممكن تقدير الحدود فقط (الحدود العليا والسفلى) لـ X _i ، وعلى وجه الخصوص، للإشارة إلى أن "احتمال أن تكون قيمة X _i ضمن الفترة من a- إلى a+ لجميع الأغراض العملية يساوي واحدًا واحتمال أن تكون X _i خارج الفترة هو صفر أساسًا". إذا لم تكن هناك معرفة محددة بالقيم المحتملة لـ X _i ضمن الفترة، فلا يمكن للمرء إلا أن يفترض أنه من المحتمل بنفس القدر أن تقع X _i في أي مكان داخلها (توزيع موحد أو مستطيل للقيم المحتملة). "

من بيان GUM، يمكن افتراض أن حالة عدم اليقين المعبر عنها فقط بالحدود دون معرفة القيمة الفعلية داخل الحدود لها توزيع مستطيل.

ينطبق هذا على حدود التسامح، وحدود القبول، والحد الأقصى للخطأ المسموح به، وما إلى ذلك.

يزعم العديد من المرشدين والخبراء والمقيّمين أن مواصفات المصنّعين وتفاوتاتهم يجب أن تُميّز بتوزيع مستطيل ما لم تستوفِ معايير التوزيعات الطبيعية المذكورة أعلاه. باتباع ما هو مكتوب في GUM، ينطبق التوزيع المستطيل فقط إذا قُدّرت درجة عدم اليقين بناءً على الحدود فقط دون مراعاة أو معرفة بالقيمة المعايرة أو المعتمدة.

مع ذلك، إذا كان جهازك مُعايرًا وتعرف أين تقع قيمة المعايرة أو الشهادة ضمن الحدود، فقد تتمكن من استخدام توزيع مختلف. تأكد من قراءة القسم التالي لمعرفة المزيد.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم 4.3.7.

  
   

توزيع المثلث وشبه المنحرف

ملخص: بديل للتوزيع المستطيلي

نظرًا لأن التوزيع المستطيلي هو توزيع متطرف وغير واقعي، يقترح GUM خيارات بديلة في القسم 4.3.9.

إذا تم تقدير عدم اليقين لديك فقط من خلال الحدود وليس هناك معرفة محددة حول القيم المحتملة ضمن الفاصل الزمني ولكنك تتوقع أن تكون القيم أكثر احتمالية لأن تكون أقرب إلى نقطة المنتصف من الحدود ، فيمكنك افتراض توزيع شبه منحرف أو توزيع مثلث.

 

وفقًا لـ JCGM 100:2008، ينص القسم 4.3.9 على أنه " نظرًا لعدم وجود معرفة محددة بالقيم المحتملة لـ X _i ضمن حدودها المقدرة من a_ إلى a+، لا يمكن للمرء إلا افتراض أنه من المحتمل بنفس القدر أن تأخذ X _i أي قيمة ضمن تلك الحدود، مع احتمال صفري لوجودها خارجها. غالبًا ما تكون انقطاعات دالة الخطوة هذه في توزيع الاحتمالات غير فيزيائية. في كثير من الحالات، يكون من الأكثر واقعية توقع أن تكون القيم القريبة من الحدود أقل احتمالًا من تلك القريبة من نقطة المنتصف. ومن ثم يكون من المعقول استبدال التوزيع المستطيل المتماثل بتوزيع شبه منحرف متماثل له أضلاع مائلة متساوية (شبه منحرف متساوي الساقين)، وقاعدة بعرض a+ – a- = 2a، وعرض علوي 2aβ، حيث 0 ≤ β ≤ 1. وبما أن β → 1، فإن هذا التوزيع شبه المنحرف يقترب من التوزيع المستطيلي لـ 4.3.7، بينما بالنسبة لـ β = 0، فهو توزيع مثلثي "."

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية مقتطف من JCGM 100:2008، القسم 4.3.9.

من خلال عبارة GUM، يمكنك اختيار توزيع مثلث أو شبه منحرف بدلاً من توزيع مستطيل حتى لو تم تقدير عدم اليقين لديك فقط من خلال الحدود وليس لديك أي فكرة عن مكان القيمة الفعلية داخل الحدود.

أُفضّل هذا البديل. لم أُحبذ قط استخدام التوزيعات المستطيلة حيث من غير المُرجّح أن تُمثّل فعليًا مجموعة بيانات. مع ذلك، هناك الكثير ممن يُخالفونني الرأي.

إذا كنت ترغب في استخدام توزيع شبه منحرف أو مثلث بدلاً من التوزيع المستطيل، فإليك ما أوصي به.

  
   

توزيعات الاحتمالات لعدم اليقين في القياس

تستخدم معظم أدلة وأوراق عدم اليقين توزيع المثلث، وليس توزيع شبه المنحرف. لذا، أنصح باستخدام توزيع المثلث. مع ذلك، يرغب معظم المُقيّمين في الحصول على أدلة تدعم استخدامه.

لذلك، أنصحك بمراجعة شهادات المعايرة. إذا كانت نتيجة المعايرة أقل من 50% من حد التسامح ، فمن السهل الادعاء بأن القيمة في الفاصل أقرب إلى نقطة المنتصف من الحد. سيساعدك هذا على تبرير استخدام توزيع المثلث.

  
   

مثال على رسم بياني لتوزيع الاحتمالات المائل

إذا كنت ترغب في استخدام توزيع شبه المنحرف ( وهو ليس شائعًا )، فأعتقد أن هناك طريقة ذكية للاستفادة منه. تضع العديد من المختبرات قواعد قرار لتعديل معداتها إذا تجاوز الأداء (على سبيل المثال) 70% من حد التسامح (TL).

في هذا السيناريو، تستخدم حدود التسامح كمؤشر لعدم اليقين، وتصفها بتوزيع شبه منحرف حيث β=0.3 (أي (100%-70%)/100=0.3). المقسوم لتحويل مُساهم عدم اليقين إلى عدم يقين قياسي هو k=2.007.

هذا الحل مشابه للتوزيع الطبيعي، حيث يُتوقع أن تكون معظم نتائجك ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط (أي مستوى ثقة 68%). وللتوضيح، فإن التوزيع الطبيعي بمستوى ثقة 95% يكون قاسمه k=2.

ومع ذلك، بسبب العمل الإضافي المطلوب لحساب المقسومات وعدم اعتماد حاسبات عدم اليقين في القياس والبرامج الحاسوبية، فإن معظم الناس لن يستخدموا هذا التوزيع.

في الواقع، لم أستخدمه مطلقًا (حتى الآن) على الرغم من أنني فكرت فيه عدة مرات.

في حالة رغبتك في استخدام توزيع شبه المنحرف، فقد قمت بإعداد مخطط لمقسومات التوزيع (لتحويل عدم اليقين إلى عدم يقين معياري أو مكافئات الانحراف المعياري) مقابل قيمة بيتا.

في الرسم البياني أدناه، ستلاحظ أن:

1. عندما يكون بيتا 0، فإن المقسوم عليه يساوي توزيع المثلث، و
2. عندما يكون بيتا 1، فإن القاسم يساوي توزيعًا مستطيلًا.

  
   

مثال على رسم بياني للتوزيع المستطيلي

وأخيرا، أردت أن أشارككم توصية مهمة في الملحق F من JCGM 100:2008 .

في القسم F.2.3.3، يقدم دليل GUM حلاً وسطًا للخلافات بين افتراض التوزيع الطبيعي والتوزيع المستطيلي . في حال وجود خلاف، يوصي الدليل بافتراض توزيع مثلثي.

أردت أن أشارككم هذه التوصية، لأنني عادة ما أجري مناقشات مع المقيمين وغيرهم من المحترفين حول ما إذا كان ينبغي وصف التسامح أو المواصفات بتوزيع طبيعي أو مستطيل.

إذا وجدت نفسك في مناقشة، فقد يكون هذا القسم من GUM مفيدًا.

انظر إلى الصورة أدناه لرؤية القسم F.2.3.3 في JCGM 100:2008.

  
   

---

  
   

شجرة القرار والجداول لتوزيعات الاحتمالات

قبل اختتام هذا الدليل، قمت بإعداد بعض جداول القرار وأشجار القرار لمساعدتك في اختيار توزيعات الاحتمالات المناسبة لميزانيات عدم اليقين الخاصة بك.

  
   

شجرة القرار والجداول لتوزيعات الاحتمالات

الجدول أدناه هو جدول قرار يعتمد على التوصيات الواردة في GUM (JCGM 100:2008).

إنها تشكل ورقة غش رائعة لتوصيف مصادر عدم اليقين من خلال:

1. نوع عدم اليقين، و
2. توزيع الاحتمالات.

 

  
   

شجرة القرار بناءً على GUM

شجرة القرار أو مخطط التدفق أدناه مشابه لجدول القرار أعلاه. سيساعدك هذا المخطط في اختيار توزيع الاحتمالات بناءً على توصيات GUM (JCGM 100:2008).

ابدأ ببساطة من أعلى يسار القرار وأجب عن الأسئلة من اليسار إلى اليمين. بناءً على إجاباتك، ستجد توزيع الاحتمالات لعامل عدم اليقين.

إذا كنت تفضل المخططات الانسيابية بدلاً من الجداول، فسوف يعمل هذا بشكل أفضل بالنسبة لك.

  
   

جدول القرار للمصادر الشائعة لعدم اليقين

أخيرًا، ستجد جدول قرارات لمصادر عدم اليقين الشائعة، والذي أتناوله في العديد من أدلتي . هذه هي العوامل المساهمة في عدم اليقين والتي أوصي بإضافتها إلى معظم ميزانيات عدم اليقين . لذلك، رأيتُ أنه من المفيد إعداد جدول قرارات لمساعدتك في اختيار توزيعات الاحتمالات المناسبة لكلٍّ من هذه العوامل.

لاستخدام الجدول، ابحث عن مُساهم عدم اليقين في العمود الأيسر. بعد ذلك، انظر إلى عمود التوزيع (أي العمود ^الثاني ) في نفس الصف لإيجاد توزيع الاحتمالية المناسب.

إذا كان هناك أكثر من خيار متاح، انظر إلى عمود الملاحظات/التعليقات (أي العمود ^الرابع ) في نفس الصف للحصول على معلومات تساعدك في اختيار التوزيع المناسب لعدم اليقين لديك.

بالإضافة إلى ذلك، أضفتُ المقسومات في العمود ^الثالث ، والتي يجب استخدامها لتحويل مُساهم عدم اليقين إلى مُساهم عدم يقين قياسي. مرة أخرى، إذا كان هناك أكثر من خيار، فراجع عمود الملاحظات/التعليقات في الصف نفسه لاختيار المقسوم الصحيح.

هذه ورقة غش رائعة بدأت في تضمينها في تدريبي على عدم اليقين في القياس العام الماضي.

  
   

---

  
   

خاتمة

تُعدّ توزيعات الاحتمالات جزءًا أساسيًا من فهم سلوك الدوال، وتحليل مصادر عدم اليقين، والتنبؤ بالنتائج المستقبلية. ولذلك، تُعدّ جزءًا أساسيًا من تحليل عدم اليقين.

إذا قمت بتقدير عدم اليقين في القياس دون مراعاة توزيعات الاحتمالات، فسترتكب أخطاءً. لذلك، تأكد من استخدام هذا الدليل كمرجع عند وضع ميزانيات عدم اليقين الخاصة بك.

في هذا الدليل، يجب أن تكون قد تعلمت ما يلي:

1. ما هو توزيع الاحتمالات؟
2. مخطط تدفق شجرة قرار توزيع الاحتمالات
3. توصيات GUM لاختيار التوزيعات، و
4. أشجار القرار ومخططات التدفق لاختيار التوزيع الصحيح.

أخيرًا، انظر إلى الصورة أدناه. إنها ورقة غش لتوزيع الاحتمالات مع ملخص للتوزيعات التي يغطيها هذا الدليل، بما في ذلك المقسومات والصيغ اللازمة لتحويل كل مساهم إلى عدم يقين قياسي.

بشكل عام، من المفترض أن تساعدك المعلومات الموجودة في هذا الدليل على اختيار التوزيعات الصحيحة بثقة في المرة القادمة التي تواجه فيها حالة عدم اليقين في تقديراتك .

آمل أن تكون هذه المقالة مفيدةً لتحليل عدم اليقين. اترك لي تعليقًا وأخبرني بتوزيعات الاحتمالات التي تستخدمها في تحليل عدم اليقين.

  
   

نُشرت هذه المقالة في الأصل بتاريخ 28 أكتوبر/تشرين الأول 2015 وتم تحديثها بتاريخ 8 مارس/آذار 2024.