Calcul des degrés de liberté effectifs

Lors d'une analyse d'incertitude, il est important de calculer les degrés de liberté associés à l'estimation de l'incertitude. Cependant, déterminer le nombre total de degrés de liberté ne consiste pas simplement à additionner tous les degrés de liberté calculés indépendamment. Il faut utiliser l'équation d'approximation de Welch Satterthwaite pour calculer les degrés de liberté effectifs. Cet article vous présentera l' équation d'approximation de Welch Satterthwaite et vous apprendra à l'appliquer à votre analyse d'incertitude.

Degrés de liberté

Avant d'aller trop loin, il est important d'aborder la question des degrés de liberté . En statistique, les degrés de liberté désignent le nombre de valeurs du calcul final qui sont libres de varier. Autrement dit, il s'agit du nombre de dimensions ou de directions dans lesquelles une valeur indépendante peut évoluer sans violer les contraintes.

Pour calculer les degrés de liberté, il faut soustraire le nombre de relations au nombre d'observations. Pour déterminer les degrés de liberté d'une moyenne d'échantillon, il faut soustraire un (1) au nombre d'observations, n.

Jetez un œil à l’image ci-dessous pour voir la formule des degrés de liberté.

Degrés de liberté effectifs

Maintenant que j'ai expliqué les degrés de liberté, examinons les degrés de liberté effectifs et l'équation d'approximation de Welch Satterthwaite.

Lors de l'analyse d'incertitude , vous évaluez et combinez plusieurs composantes d'incertitude caractérisées par diverses distributions de probabilité. Ce processus complexe rend généralement les degrés de liberté inappropriés ou indéfinis. Par conséquent, vous devez calculer les degrés de liberté effectifs ou équivalents, à des fins d'inférence, afin d'approximer les degrés de liberté réels.

Ceci est réalisé grâce à l'équation de Welch Satterthwaite. Elle regroupe les degrés de liberté pour obtenir une moyenne approximative.

Take a look at the image below to see the effective degrees of freedom formula.
 

 
This is the same equation recommended by the JCGM 100:2008 – The Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (i.e. The GUM). Take a look at the image below for an excerpt from Appendix G of the GUM.
 

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Application de l'équation

En utilisant l'équation ci-dessus et le tableau ci-dessous, vous pouvez voir comment appliquer facilement l'équation à vos calculs d'incertitude. Observez les cases surlignées. Chaque case est identifiée par une couleur et un symbole. Insérez les valeurs dans l'équation et calculez les degrés de liberté effectifs.

Sinon, consultez la section suivante pour apprendre à calculer les degrés de liberté effectifs étape par étape à l’aide de Microsoft Excel.

Comment calculer les degrés de liberté effectifs

Le calcul des degrés de liberté effectifs avec l'équation de Welch Satterthwaite peut sembler déroutant, je vais donc décomposer le processus en étapes faciles à suivre pour vous.

1. Élevez chaque composante d'incertitude à la puissance 4 ¹

La première chose que nous voulons faire est d’élever chaque composante d’incertitude standard à la puissance 4.

Regardez l'image ci-dessous pour la formule dans MS Excel. Après avoir élevé la première composante d'incertitude à la puissance 4, copiez-collez la fonction pour les composantes d'incertitude restantes.

2. Divisez chaque incertitude par ses degrés de liberté associés

La deuxième étape consiste à diviser votre résultat précédent par ses degrés de liberté associés.

Jetez un œil à l’image ci-dessous pour voir comment procéder dans MS Excel.

3. Ajoutez les résultats de l’étape précédente,

Dans cette étape, vous souhaitez additionner tous vos résultats de l’étape précédente.

Vous pouvez facilement effectuer cette opération dans MS Excel grâce à la fonction de somme (SOMME). L'image ci-dessous illustre la procédure.

4. Élevez l'incertitude combinée à la puissance 4

Maintenant, vous devez élever votre incertitude standard combinée à la puissance 4.

Regardez l'image ci-dessous pour voir comment procéder dans Microsoft Excel. Je vous recommande d'entrer cette fonction là où vous souhaitez voir les degrés de liberté effectifs calculés, car je vais vous montrer comment terminer ce processus dans la cellule affichée dans l'image ci-dessous.

5. Divisez le résultat de l'étape 4 par le résultat de l'étape 3

Ensuite, vous diviserez le résultat de l’étape précédente par le résultat que vous avez calculé à l’étape 3.

Jetez un œil à l’image ci-dessous pour voir comment procéder dans Microsoft Excel.

Le résultat que vous calculez correspond aux degrés de liberté effectifs. Cependant, ce n'est pas tout. Vous devrez arrondir le résultat à un nombre entier à l'étape suivante.

6. Arrondissez le résultat au nombre entier le plus proche.

Enfin, arrondissez le résultat à un nombre entier à l’aide de la fonction ARRONDI dans Microsoft Excel.

Regardez l’image ci-dessous pour voir comment procéder.

Le résultat

Si vous avez suivi les étapes ci-dessus, vous venez de calculer les degrés de liberté effectifs. Bravo !

Jetez un œil à l’image ci-dessous pour voir le résultat final.

Facteur de couverture pour l'incertitude élargie

Si vous préférez utiliser le tableau T de Student pour trouver votre facteur de couverture pour calculer votre incertitude élargie , vous pouvez utiliser les degrés de liberté effectifs (que vous venez de calculer).

Vous devrez utiliser la fonction TINV dans Microsoft Excel.

Jetez un œil à l’image ci-dessous pour voir comment utiliser la fonction TINV.

Trouver le facteur de couverture à l'aide de la fonction TINV

Tout ce que vous devez faire est de:

1. Sélectionnez une cellule pour calculer votre facteur de couverture,
2. Tapez « =TINV(0.0455, » dans la cellule,
3. Sélectionnez la cellule où vos degrés de liberté sont calculés,
4. Tapez « ) » et appuyez sur la touche Entrée.

Votre résultat sera un facteur de couverture de 95 % basé sur le tableau T de Student.

Enfin, jetez un œil à l'image ci-dessous pour voir le facteur de couverture qui a été trouvé à l'aide du tableau T de Student et des degrés de liberté effectifs.

Conclusion

Maintenant que vous savez calculer les degrés de liberté effectifs et utiliser l'équation de Welch Satterthwaite, n'hésitez pas à l'essayer et à l'inclure dans vos budgets d'incertitude . Cette équation pose problème à beaucoup de personnes. J'espère donc que ce guide vous sera utile. Pour toute question, n'hésitez pas à me contacter.

Si vous souhaitez en savoir plus sur l'équation d'approximation de Welch Satterthwaite, consultez les articles originaux publiés par FE Satterthwaite et BL Welch.

La généralisation du problème de « Student » lorsque plusieurs variances de population différentes sont impliquées

Cet article a été initialement publié le 13 juin 2014 et mis à jour le 11 juin 2021.