Introduction
L'incertitude de linéarité (ou erreur de linéarité ou non-linéarité) est une source d'incertitude qui devrait être incluse dans la plupart des budgets d'incertitude . Il s'agit d'une caractéristique courante publiée dans les spécifications des fabricants pour divers types d'équipements de mesure. Cependant, je ne la vois pas incluse dans les budgets d'incertitude aussi souvent qu'elle le devrait.
Si vous disposez d'une fonction de test ou de mesure couvrant une plage de valeurs, vous devrez peut-être inclure la linéarité dans votre analyse d'incertitude. C'est pourquoi j'ai pensé qu'il serait judicieux de développer un guide expliquant étape par étape comment estimer l'incertitude de linéarité avec Microsoft Excel.
Dans ce guide, vous allez apprendre tout ce que vous devez savoir sur l’incertitude de linéarité, notamment :
- Qu'est-ce que l'incertitude de linéarité
- Pourquoi l'incertitude de linéarité est-elle importante ?
- Quand faut-il inclure l'incertitude de linéarité
- Méthodes d'incertitude de linéarité
- Quelle méthode d'incertitude devriez-vous utiliser
- Comment calculer l'incertitude de linéarité (étape par étape)
Qu'est-ce que l'incertitude de linéarité
La linéarité est la propriété d’une relation ou d’une fonction mathématique qui peut être représentée graphiquement sous la forme d’une ligne droite.
La non-linéarité est l’écart par rapport à une ligne droite sur une plage souhaitée.
Par conséquent, l’incertitude de linéarité serait l’incertitude associée au comportement non linéaire observé sur la plage d’une fonction linéaire supposée.
Lorsque vous réfléchissez au fonctionnement d’un équipement de mesure, vous supposez probablement que ses performances de mesure sont linéaires sur toute la plage de mesure.
Cependant, ce n’est généralement pas le cas.
Les fonctions de mesure de la plupart des appareils ne sont pas réellement linéaires. Elles sont plutôt approximativement linéaires. Nous essayons donc de les corriger à l'aide de coefficients et d'équations linéaires ou polynomiales afin de rendre leurs performances plus prévisibles.
Cependant, les équations et coefficients de prédiction corrigent parfaitement leur comportement non linéaire. Il est donc nécessaire de prendre en compte l'incertitude de linéarité.
Le comportement non linéaire est fréquemment observé pour de nombreux dispositifs mécaniques et matériaux physiques. Par exemple, voici une liste de dispositifs dont la linéarité est couramment évaluée :
- Manomètres (avec tubes de Bourdon)
- Transducteurs de pression (avec jauges de contrainte)
- Cellules de charge,
- Jauges de force,
- Balances et balances analytiques,
- Capteurs de couple,
- Thermomètres à résistance (par exemple PRT, RTD, thermistances, etc.),
- Liquide dans des thermomètres en verre (par exemple à mercure, à alcool, etc.),
- Hygromètres,
- Indicateurs à cadran,
- et bien plus encore.
De plus, de nombreux appareils électriques peuvent également présenter un comportement non linéaire.
- Multimètres numériques,
- Calibrateurs multifonctions,
- Oscilloscopes,
- Compteurs LCR,
- Phasemètres,
- Simulateurs de thermocouple,
- Capteurs de puissance,
- Générateurs de signaux,
- et bien plus encore.
Quel que soit le type d’équipement que vous utilisez, n’oubliez pas de prendre en compte la linéarité dans votre analyse d’incertitude, à moins qu’il soit négligeable ou inapproprié de le faire.
Pourquoi l'incertitude de linéarité est-elle importante ?
L'incertitude de linéarité est importante car elle permet de prendre en compte les effets d'un comportement non linéaire dans une fonction de mesure . Si vous utilisez une équation pour estimer l'incertitude sur une plage de mesure, vous devrez peut-être envisager d'évaluer l'incertitude de linéarité.
J'entends souvent dire que la linéarité n'est pas importante ou qu'elle n'a pas besoin d'être incluse dans un budget d'incertitude. Je dis : testez-la et laissez les résultats parler d'eux-mêmes.
Si le résultat est faible ou négligeable, tant mieux ! Vous disposez désormais de preuves objectives pour étayer votre opinion. Cependant, je l'inclurais tout de même dans votre budget d'incertitude pour prouver que vous l'avez pris en compte.
Si le résultat est significatif, incluez les résultats dans votre budget d’incertitude.
Si vous ne parvenez pas à calculer la linéarité, essayez de lire les manuels et les fiches techniques du fabricant pour voir s'ils la mentionnent dans les spécifications.
Néanmoins, l'incertitude de linéarité est importante. Il faut au moins se demander si elle affecte l'incertitude de votre mesure.
Quand faut-il inclure l'incertitude de linéarité
Vous devez inclure la linéarité dans votre analyse d’incertitude chaque fois que vous estimez l’incertitude pour une plage de mesure continue.
Si vous prévoyez d’utiliser une équation linéaire pour prédire l’incertitude de mesure d’une plage de mesure donnée, vous devez inclure la linéarité dans votre analyse d’incertitude.
Lors de l'estimation de l'incertitude de mesure sur une plage de mesure, l'incertitude est généralement estimée aux points de test proches du minimum et du maximum de la plage de mesure. Comme votre analyse d'incertitude n'estime pas l'incertitude aux points situés entre les valeurs minimale et maximale, vous devez tenir compte de la non-linéarité de la fonction.
De plus, de nombreux instruments de mesure présentent un comportement non linéaire en dessous de 10 % de la plage de mesure. Lorsque l'incertitude est estimée pour des valeurs inférieures à 10 % de la plage de mesure, le risque d'observer un comportement non linéaire augmente à mesure que l'on se rapproche de zéro.
Assurez-vous donc d’en tenir compte lors de la sélection des points de test pour votre analyse d’incertitude.
Méthodes d'incertitude de linéarité
Il existe deux méthodes courantes pour estimer l'incertitude de linéarité :
- Écart maximal par rapport à la linéarité
- Écart typique par rapport à la linéarité
Méthode 1 : Écart maximal par rapport à la linéarité
Maximum error provides the maximum deviation from the linear behavior of a fitted line prediction equation (e.g. regression, interpolation, B.F.S.L.).
Méthode 2 : Erreur standard de linéarité
Standard error provides the typical deviation from the linear behavior of a fitted line prediction equation (e.g. regression, interpolation, B.F.S.L.).
Both methods evaluate the deviation from linearity. The difference between the two methods is one method evaluates the worst case scenario and the other evaluates the most likely or most probable scenario.
Quelle incertitude devez-vous utiliser : Max ou Standard
La méthode de l'écart maximal est la méthode la plus couramment utilisée pour évaluer l'incertitude de linéarité. C'est également la méthode la plus recommandée. En effectuant des recherches, vous aurez plus de chances de trouver des informations sur la méthode de l'écart maximal.
Le NIST recommande la méthode de l'écart maximal dans son manuel de statistiques d'ingénierie NIST/SEMATECH . Voir l'extrait ci-dessous.
Pour évaluer l'incertitude de linéarité, je privilégie la méthode de l'erreur standard . Je pense qu'elle est plus adaptée à l'analyse d'incertitude et au développement d'une équation de prédiction d'incertitude CMC , surtout si j'ai déjà pris en compte les biais ou les erreurs dans mon analyse d'incertitude.
Si vous choisissez d’utiliser l’écart maximal pour la linéarité, vous devez veiller à ne pas confondre vos résultats et à ne pas surestimer l’incertitude de mesure estimée.
Si vous incluez un biais ou une erreur dans votre analyse d'incertitude , vous risquez davantage de surestimer votre incertitude en utilisant la méthode de l'écart maximal. D'autant plus que l'écart maximal et le biais pourraient aboutir au même résultat !
Si vous choisissez d’utiliser la méthode de l’erreur standard, vous risquez davantage de sous-estimer votre incertitude de mesure si vous n’incluez pas de biais dans votre budget d’incertitude.
Lorsque vous incluez un biais dans votre analyse d’incertitude, l’utilisation de l’erreur standard pour l’incertitude de linéarité est plus susceptible de vous donner une meilleure estimation de l’incertitude de mesure.
Alors, utilisez la méthode qui vous convient le mieux. Au moins, sachez quelles options s'offrent à vous et pourquoi vous avez choisi cette méthode, si jamais on vous pose une question.
Comment calculer l'incertitude de linéarité
Pour calculer l’incertitude de linéarité, je vais vous montrer comment effectuer une analyse de régression dans Microsoft Excel et trouver l’écart maximal et l’erreur standard.
Dans Microsoft Excel, il existe deux processus que vous pouvez utiliser pour obtenir facilement des résultats ;
- Data Analysis ToolPak, et
- Fonctions DROITEREG et ORIGINE INTERCEPTÉE.
Détection de l'incertitude de linéarité avec Data Analysis ToolPak
Dans cette section, vous apprendrez à utiliser Data Analysis ToolPak pour trouver votre incertitude de linéarité en suivant les quatre étapes ci-dessous ;
- Installer Data Analysis ToolPak,
- Saisissez vos données standard et UUT,
- Effectuer une analyse de régression et
- Trouvez votre incertitude de linéarité
1. Installer Data Analysis ToolPak
Pour calculer l'incertitude de linéarité, vous devez effectuer une analyse de régression. Pour ce faire, dans Microsoft Excel, vous devez installer le pack d'outils d'analyse de données.
Ce module complémentaire étant intégré à Microsoft Excel, il vous suffit de l'activer. Pour activer le Pack d'outils d'analyse de données, suivez les étapes ci-dessous :
a. Click the File tab
b. Click Options (on the left side panel)
c. A new window will open. Click Add-ins.
d. At the bottom of the screen, use the drop-down menu to select Excel Add-ins, then click the Go button.
e. Check the box next to Analysis ToolPak, then click the Ok button.
Data Analysis ToolPak will be added to Microsoft Excel. You can add under the Data tab.
2. Saisissez vos données standard et UUT
a. Enter your Nominal Values into column X
Now that Data Analysis ToolPak is added to Microsoft Excel, pick a column and enter your nominal or standard values. You want to use all of test-points calibrated for the measurement range you are evaluating linearity uncertainty.
b. Enter Your Actual Values into column Y
Next, select another column and enter the calibration results for the unit under test (UUT).
3. Effectuer une analyse de régression
a. Open Data Analysis ToolPak
Now, we are going to put Data Analysis ToolPak to work. Click on the Data tab. Look at the right-side of the toolbar and click on the Data Analysis button.
b. Select Regression Analysis
A new window will open with a list of analyses. Scroll down and select Regression Analysis. Then, click the Ok button.
c. Select Column Y
A new window will open that requires you to enter information needed to perform regression analysis. In the Input section, find the Input Y Range cell and click the button to the right of the cell.
Select all of the cells that contain the UUT calibration results.
d. Select Column X
Find the Input X Range cell and click the button to the right of the cell.
Select all of the cells that contain the Nominal or Standard values.
e. Select a Location For the Results
In the Output Options section, select the Output Range and click the button to the right of the input cell.
Select a cell where you would like the results reported. I recommend choosing a section to the right or below your data table. The results of regression will fill in a lot of cells, so make sure not to overwrite any of your data.
f. Click to Show Residuals
In the Residuals section, check the box to show Residuals.
g. Click Ok to Perform The Analysis
Finally, click the Ok button to perform a regression analysis. After you click the button, Microsoft Excel will perform regression analysis and show you the results.
4. Trouver l'incertitude de linéarité
a. Find the Standard Error or the Max Residual
For linearity uncertainty, you will want to look at the Standard Error or the Maximum Residual. The method that you prefer to use to evaluate linearity will determine which data you will enter into your uncertainty budget.
Déterminer l'incertitude de linéarité avec DROITEREG et ORIGINE INTERCEPTÉE
Dans cette section, vous apprendrez à utiliser les fonctions DROITEREG et ORIGINE INTERCEPTÉE pour calculer votre incertitude de linéarité en suivant les quatre étapes ci-dessous ;
- Saisissez vos données standard et UUT,
- Calculer le coefficient de gain,
- Calculer le coefficient de décalage,
- Calculez votre ligne de prédiction ajustée,
- Calculez les résidus et
- Trouvez votre incertitude de linéarité
1. Saisissez vos résultats standard et UUT
First, create a table and enter your standard or nominal values in column X. Then, enter your results in column Y.
2. Calculer le coefficient de gain
Calculez le coefficient de gain (c'est-à-dire la pente) à l'aide de la fonction DROITEREG dans Microsoft Excel.
- Tapez « =LINEST( »
- Sélectionnez toutes les cellules de la colonne Y,
- Sélectionnez toutes les cellules de la colonne X,
- Tapez « Vrai » car le coefficient de décalage sera calculé normalement,
- Tapez « Vrai » pour des statistiques de régression supplémentaires,
- Tapez « ) » et appuyez sur la touche Entrée.
3. Calculer le coefficient de décalage
Calculez le coefficient de décalage (c'est-à-dire l'ordonnée à l'origine) à l'aide de la fonction INTERCEPT dans Microsoft Excel.
- Tapez « =INTERCEPT( »
- Sélectionnez toutes les cellules de la colonne Y,
- Sélectionnez toutes les cellules de la colonne X,
- Tapez « ) » et appuyez sur la touche Entrée.
4. Calculer la droite ajustée
Calculez la droite ajustée en utilisant les coefficients de gain et de décalage.
- Tapez « = »
- Sélectionnez la première valeur dans la colonne X,
- Multipliez-le par le coefficient de gain,
- Ajoutez le coefficient de décalage,
- Appuyez sur la touche Entrée
- Copiez et collez les valeurs restantes dans la colonne X.
Hint: Hit the F4 key when you select the coefficient cells to lock the cells when you copy and paste equations.
5. Calculer les résidus
Calculez les résidus en calculant la différence entre le résultat Y observé et le résultat Y ajusté.
- Tapez « =ABS( »
- Soustrayez la première cellule de la colonne Y par la première cellule de la colonne ajustée en Y,
- Tapez « ) » et appuyez sur la touche Entrée.
- Copier et coller pour les valeurs restantes dans la colonne Y
6. Trouver l'incertitude de linéarité
Calculez l’erreur standard et l’écart maximal pour trouver l’incertitude de linéarité.
a. Erreur standard
b. Maximum Deviation
Conclusion
L'incertitude de linéarité est une source importante d'incertitude que vous pouvez inclure dans vos analyses d'incertitude. Si vous utilisez des équations de prédiction pour votre incertitude CMC et que votre fonction de mesure couvre une plage de valeurs, vous pouvez ajouter de la linéarité à vos budgets d'incertitude afin de tenir compte de la non-linéarité de votre fonction de mesure.
Dans ce guide, vous devriez avoir appris :
- Qu'est-ce que l'incertitude de linéarité,
- Deux méthodes de calcul de l'incertitude de linéarité,
- Comment le calculer, et
- Quand l’inclure dans vos budgets d’incertitude.
Essayez ces méthodes et indiquez-moi celle que vous préférez. N'hésitez pas à me faire part des exemples supplémentaires que vous souhaiteriez que j'ajoute à ce guide.
