Berechnung der effektiven Freiheitsgrade

Bei der Durchführung einer Unsicherheitsanalyse ist es wichtig, die mit der Unsicherheitsabschätzung verbundenen Freiheitsgrade zu berechnen. Die Bestimmung der Gesamtfreiheitsgrade ist jedoch nicht einfach das Addieren aller unabhängig berechneten Freiheitsgrade. Stattdessen müssen Sie die Welch-Satterthwaite-Approximationsgleichung verwenden, um die effektiven Freiheitsgrade zu berechnen. In diesem Artikel erhalten Sie eine Einführung in die Welch-Satterthwaite-Approximationsgleichung und erfahren, wie Sie sie in Ihrer Unsicherheitsanalyse anwenden.

Freiheitsgrade

Bevor wir uns ins Detail begeben, ist es wichtig, die Freiheitsgrade zu betrachten. In der Statistik bezeichnen Freiheitsgrade die Anzahl der Werte in der endgültigen Berechnung, die frei variieren können. Anders ausgedrückt: Es handelt sich um die Anzahl der Möglichkeiten oder Dimensionen, in denen sich ein unabhängiger Wert bewegen kann, ohne Einschränkungen zu verletzen.

Um die Freiheitsgrade zu berechnen, subtrahieren Sie die Anzahl der Beziehungen von der Anzahl der Beobachtungen. Um die Freiheitsgrade für einen Stichprobenmittelwert zu bestimmen, müssen Sie eins (1) von der Anzahl der Beobachtungen, n, subtrahieren.

Schauen Sie sich das Bild unten an, um die Formel für die Freiheitsgrade zu sehen.

Pipettenkalibrierung, Z-Korrekturfaktor

Nachdem ich nun die Freiheitsgrade erklärt habe, schauen wir uns die effektiven Freiheitsgrade und die Welch-Satterthwaite-Näherungsgleichung an.

Bei der Unsicherheitsanalyse werden mehrere Unsicherheitskomponenten mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgewertet und kombiniert. Dieser komplexe Prozess führt typischerweise dazu, dass die Freiheitsgrade ungeeignet oder undefiniert sind. Daher müssen Sie für Inferenzzwecke die effektiven oder äquivalenten Freiheitsgrade berechnen, um die tatsächlichen Freiheitsgrade zu approximieren.

Dies wird mithilfe der Welch-Satterthwaite-Gleichung erreicht. Im Wesentlichen werden die Freiheitsgrade zusammengefasst, um einen ungefähren Durchschnittswert zu erhalten.

 Schauen Sie sich das Bild unten an, um die Formel für die effektiven Freiheitsgrade zu sehen.

 

 
Dies ist die gleiche Gleichung, die im JCGM 100:2008 – Leitfaden zur Angabe von Messunsicherheiten (GUM) empfohlen wird. Die Abbildung unten zeigt einen Auszug aus Anhang G des GUM.

 

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Anwendung der Gleichung

Mithilfe der oben angegebenen Gleichung und der unten abgebildeten Tabelle können Sie die Gleichung einfach auf Ihre Unsicherheitsberechnungen anwenden. Sehen Sie sich die hervorgehobenen Kästchen an. Jedes Kästchen ist durch Farbe und Symbol gekennzeichnet. Setzen Sie die Werte in die Gleichung ein und berechnen Sie die effektiven Freiheitsgrade.

Andernfalls lesen Sie den nächsten Abschnitt, um zu erfahren, wie Sie die effektiven Freiheitsgrade mit Microsoft Excel Schritt für Schritt berechnen.

So berechnen Sie die effektiven Freiheitsgrade

Die Berechnung der effektiven Freiheitsgrade mit der Welch-Satterthwaite-Gleichung kann verwirrend erscheinen, daher werde ich den Vorgang für Sie in leicht verständliche Schritte aufteilen.

1. Erhöhen Sie jede Unsicherheitskomponente mit 4 ¹

Als Erstes möchten wir jede Standardunsicherheitskomponente mit der Potenz 4 erhöhen.

Die Formel in MS Excel finden Sie im Bild unten. Nachdem Sie die erste Unsicherheitskomponente mit 4 potenziert haben, kopieren Sie die Funktion für die verbleibenden Unsicherheitskomponenten und fügen Sie sie ein.

2. Teilen Sie jede Unsicherheit durch die zugehörigen Freiheitsgrade

Im zweiten Schritt teilen Sie Ihr vorheriges Ergebnis durch die zugehörigen Freiheitsgrade.

Schauen Sie sich das Bild unten an, um zu sehen, wie dies in MS Excel durchgeführt wird.

3. Fügen Sie die Ergebnisse aus dem vorherigen Schritt hinzu.

In diesem Schritt möchten Sie alle Ihre Ergebnisse aus dem vorherigen Schritt zusammenfassen.

Dies ist in MS Excel ganz einfach mit der Summationsfunktion (SUMME) möglich. Die folgende Abbildung zeigt, wie es geht.

4. Erhöhen Sie die kombinierte Unsicherheit auf die Potenz von 4

Jetzt müssen Sie Ihre kombinierte Standardunsicherheit mit 4 potenzieren.

Im Bild unten sehen Sie, wie das in Microsoft Excel funktioniert. Ich empfehle, diese Funktion dort einzugeben, wo Sie die berechneten effektiven Freiheitsgrade sehen möchten. Ich zeige Ihnen, wie Sie diesen Vorgang in der Zelle im Bild unten abschließen.

5. Teilen Sie das Ergebnis aus Schritt 4 durch das Ergebnis aus Schritt 3

Als nächstes dividieren Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt durch das Ergebnis, das Sie in Schritt 3 berechnet haben.

Schauen Sie sich das Bild unten an, um zu sehen, wie das in Microsoft Excel geht.

Das Ergebnis, das Sie berechnen, sind die effektiven Freiheitsgrade. Sie sind damit jedoch noch nicht fertig. Im nächsten Schritt müssen Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl runden.

6. Runden Sie das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl.

Runden Sie das Ergebnis abschließend mit der Funktion RUNDEN in Microsoft Excel auf eine ganze Zahl.

Schauen Sie sich das Bild unten an, um zu sehen, wie es geht.

Das Ergebnis

Wenn Sie die obigen Schritte befolgt haben, haben Sie gerade die effektiven Freiheitsgrade berechnet. Gute Arbeit!

Schauen Sie sich das Bild unten an, um das Endergebnis zu sehen.

Abdeckungsfaktor für erweiterte Unsicherheit

Wenn Sie zur Ermittlung Ihres Abdeckungsfaktors zur Berechnung Ihrer erweiterten Unsicherheit lieber die Student-T-Tabelle verwenden möchten, können Sie die effektiven Freiheitsgrade (die Sie gerade berechnet haben) verwenden.

Sie müssen die TINV-Funktion in Microsoft Excel verwenden.

Sehen Sie sich das Bild unten an, um zu sehen, wie Sie die TINV-Funktion verwenden.

Ermitteln des Abdeckungsfaktors mithilfe der TINV-Funktion

Alles, was Sie tun müssen, ist:

1. Wählen Sie eine Zelle aus, um Ihren Abdeckungsfaktor zu berechnen.
2. Geben Sie „ =TINV(0.0455, ” in die Zelle ein.
3. Wählen Sie die Zelle aus, in der Ihre Freiheitsgrade berechnet werden.
4. Geben Sie „ ) “ ein und drücken Sie die Eingabetaste.

Ihr Ergebnis ist ein Abdeckungsfaktor von 95 % basierend auf der Student-T-Tabelle.

Schauen Sie sich abschließend das Bild unten an, um den Abdeckungsfaktor anzuzeigen, der mithilfe der Student-T-Tabelle und der effektiven Freiheitsgrade ermittelt wurde.

Abschluss

Nachdem Sie nun wissen, wie Sie die effektiven Freiheitsgrade berechnen und die Welch-Satterthwaite-Gleichung anwenden, können Sie sie gerne ausprobieren und in Ihre Unsicherheitsbudgets einbeziehen. Viele Menschen tun sich mit dieser Gleichung schwer. Ich hoffe, dieser Leitfaden ist hilfreich für Sie. Bei Fragen können Sie sich gerne an mich wenden.

Wenn Sie mehr über die Welch-Satterthwaite-Näherungsgleichung erfahren möchten, lesen Sie die Originalarbeiten von FE Satterthwaite und BL Welch.

Die Verallgemeinerung des „Student-Problems“, wenn mehrere unterschiedliche Populationsvarianzen beteiligt sind

Dieser Artikel wurde ursprünglich am 13. Juni 2014 veröffentlicht und am 11. Juni 2021 aktualisiert.