Einführung
Vor einigen Monaten habe ich eine 7-Schritte-Anleitung zur Berechnung der Messunsicherheit geschrieben. Die meisten Rückmeldungen, die ich erhielt, sprachen mich zwar für hilfreich an, doch einige bemängelten auch, dass fortgeschrittenere Themen, insbesondere Sensitivitätskoeffizienten, fehlten.
Aus diesem Grund habe ich beschlossen, einen Artikel zu schreiben, der sich mit der Verwendung von Sensitivitätskoeffizienten und anderen gleichwertigen Methoden zur Kombination von Unsicherheit mit verschiedenen Maßeinheiten befasst.
Kombination von Unsicherheit
Die Kombination von Messunsicherheit mit unterschiedlichen Einheiten scheint bei vielen Unsicherheitsschätzern ein häufiges Problem zu sein. In den kostenlosen Leitfäden zur Messunsicherheit sind jedoch nicht viele detaillierte Informationen verfügbar.
Die meisten Leitfäden zur Unsicherheit behandeln das Thema Sensitivitätskoeffizienten, bieten aber keine Beispiele, um den Lesern die Berechnung und Anwendung von Sensitivitätskoeffizienten näherzubringen. Ich glaube, die Autoren dieser Leitfäden übersehen oft, dass nicht alle ihrer Leser einen Doktortitel besitzen.
Daher habe ich beschlossen, in diesem Artikel Sensitivitätskoeffizienten und zwei weitere ähnliche Methoden zur Kombination von Unsicherheit mit verschiedenen Maßeinheiten zu behandeln. Darüber hinaus habe ich den Prozess für Anfänger erklärt und Beispiele gegeben, die Ihnen helfen, die Kombination von Unsicherheit mit verschiedenen Maßeinheiten zu erlernen.
Verwendete Methoden
In diesem Artikel werde ich erläutern, wie man Unsicherheit mit unterschiedlichen Einheiten mithilfe von drei verschiedenen Methoden kombiniert.
- Sensitivitätskoeffizienten
- Bruchunsicherheit
- Mathematische Simulation
Fractionale Unsicherheit und mathematische Simulation werden in den meisten von mir gelesenen Unsicherheitsleitfäden nicht behandelt. Ich habe zum ersten Mal in John Taylors „Einführung in die Fehleranalyse“ von fractionaler Unsicherheit gelesen. Mathematische Simulation ist ein Prozess, über den ich nirgendwo gelesen habe. Sagen Sie mir also, wenn ich falsch liege, wenn ich sage, dass diese Informationen fast ausschließlich mir selbst zuzuschreiben sind. Ich möchte jedoch sagen, dass sie praktisch aus jedem Mathematiklehrbuch abgeleitet sind, das ich je zur Problemlösung gelesen habe.
Das Beispielproblem
In diesem Artikel verwenden wir die Gleichung des Ohmschen Gesetzes, um die Anwendung jeder Methode zu demonstrieren. Der Einfachheit halber verwenden wir einfache, erfundene Werte, um die Demonstration der Anwendung leichter verständlich zu machen.
Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass es sich um Unsicherheitswerte handelt, die bereits auf Standardabweichungen reduziert wurden. Darüber hinaus handelt es sich bei den in den Beispielen berechneten Ergebnissen lediglich um kombinierte Unsicherheitsberechnungen und wird nicht auf ein Konfidenzniveau von 95 % erweitert.
Unten sehen Sie die Gleichung des Ohmschen Gesetzes, wobei „E“ die Spannung, „I“ die Stromstärke und „R“ den Widerstand darstellt. Multipliziert man Stromstärke und Widerstand eines einfachen Reihenschaltkreises (mit einem Widerstand), erhält man die im Schaltkreis vorhandene Spannung.
Bei der Kalibrierung eines Widerstands legen wir einen bekannten Stromwert an einen Widerstand mit unbekanntem Wert an und beobachten den Spannungsabfall über dem Widerstand. Wenn wir die Werte von Spannung und Stromstärke kennen, können wir den Widerstandswert schätzen, indem wir den Spannungswert durch den Stromwert dividieren.
Das Kombinieren von Unsicherheit mit unterschiedlichen Einheiten ist nicht möglich. Sie müssen Ihre Unsicherheitsfaktoren in ähnliche Einheiten umrechnen.
Sensitivitätskoeffizienten
Sensitivitätskoeffizienten zeigen die Beziehung zwischen einem einzelnen Unsicherheitsfaktor und dessen Auswirkung auf das Endergebnis.
Anhand unseres Ohmschen Gesetzes zeige ich Ihnen, wie Sie Sensitivitätskoeffizienten berechnen. Sehen Sie sich zunächst die Gleichung des Ohmschen Gesetzes und die Gleichung zur Kombinationsunsicherheit an.
Verwenden Sie nun die beiden Gleichungen, um die Gleichung für die kombinierte Unsicherheit zu entwickeln. Beachten Sie, dass c I Ihr Sensitivitätskoeffizient für die aktuelle Unsicherheit und c R Ihr Sensitivitätskoeffizient für die Widerstandsunsicherheit ist. Beachten Sie außerdem, dass u I Ihre aktuelle Unsicherheit und u R Ihre Widerstandsunsicherheit ist.
Betrachten wir als Nächstes die Gleichung zur Berechnung der Sensitivitätskoeffizienten. Beachten Sie, dass der Sensitivitätskoeffizient die Änderung oder Differenz unserer Funktion von x (δf) geteilt durch die Differenz der Differenz der Eingangsvariable x (δx) ist.
Berechnen wir zunächst den Empfindlichkeitskoeffizienten für Strom. Anhand der folgenden Gleichung müssen Sie die Spannungsänderung ermitteln, die durch die Stromänderung verursacht wird.
Ich habe Ihnen zuvor die Änderung des Stroms mitgeteilt, als ich Ihnen den Wert für die Stromunsicherheit genannt habe. Sie werden die Stromunsicherheit in der Gleichung des Ohmschen Gesetzes verwenden, um die Änderung der Spannung zu ermitteln.
Hier ist unsere ursprüngliche Gleichung.
Hier ist die Gleichung angepasst, um die Spannungsänderung zu berechnen. Durch Eingabe der bekannten Werte können wir die Änderung der berechneten Spannung berechnen.
Da Sie nun die durch die Stromänderung verursachte Spannungsänderung kennen, können wir den Sensitivitätskoeffizienten für die Stromunsicherheit berechnen. Beachten Sie, dass das Ergebnis in Volt pro Ampere angegeben wird. Dies dient der Umrechnung unseres Stromunsicherheitswerts von Ampere in Volt, sodass Sie ähnliche Einheiten anstelle unterschiedlicher Einheiten kombinieren können.
Anschließend müssen Sie diesen Vorgang wiederholen, um die durch die Widerstandsänderung verursachte Spannungsänderung zu berechnen.
Verwenden Sie anschließend die Ergebnisse, um den Empfindlichkeitskoeffizienten für die Widerstandsunsicherheit in der Einheit Volt pro Ohm zu bestimmen.
Mit Ihren neu berechneten Sensitivitätskoeffizienten ist es an der Zeit, die Unsicherheit zu kombinieren. Setzen Sie einfach alle bekannten Werte in die unten stehende Gleichung ein und berechnen Sie die kombinierte Unsicherheit für die Spannung. Beachten Sie, dass Ihre Sensitivitätskoeffizienten Ihre Unsicherheitswerte in Volt umrechnen, sodass Sie ähnliche Maßeinheiten kombinieren können.
Sie haben gerade Sensitivitätskoeffizienten und kombinierte Unsicherheiten für Beitragende mit unterschiedlichen Maßeinheiten berechnet. Ich weiß, das scheint viel Arbeit zu sein, aber es ist ein notwendiger Prozess, Unsicherheiten mithilfe von Sensitivitätskoeffizienten richtig zu kombinieren.
Lassen Sie uns den Vorgang noch einmal zusammenfassen.
1. Identifizieren Sie die Gleichung
2. Ändern Sie die Eingabevariablen (x) nacheinander, um die Änderung der Ausgabevariablen (y) zu berechnen.
3. Berechnen Sie aus der Änderung des Ausgabewerts (y) den Sensitivitätskoeffizienten (c).
4. Wiederholen Sie dies für jede Variable.
5. Berechnen Sie die kombinierte Unsicherheit.
Bruchunsicherheit
Eine weitere Methode, Unsicherheit mit verschiedenen Maßeinheiten zu kombinieren, ist die fraktionale Unsicherheit. Ich habe in John Taylors Buch „Einführung in die Fehleranalyse“ von dieser Methode gelesen. Im Wesentlichen wandeln Sie Ihre Unsicherheitsfaktoren in fraktionale Äquivalente in Prozent um, bevor Sie sie kombinieren.
Dies ist die Gleichung zur Berechnung der prozentualen Unsicherheit. Sie ermitteln die Änderung von x und dividieren sie durch den Absolutwert von x, um die prozentuale Unsicherheit zu berechnen.
Beginnen Sie mit der kombinierten Unsicherheitsgleichung aus unserem Beispiel. Geben Sie anschließend die Gleichung für die fraktionale Unsicherheit für jeden Unsicherheitsfaktor ein. Verwenden Sie anschließend die angegebenen Werte aus dem Beispiel und setzen Sie sie in die Gleichung ein.
Nach dem Lösen der Gleichung haben Sie zwei Prozentwerte. Einen für die Stromunsicherheit und einen für die Widerstandsunsicherheit.
Abschließend werden die Werte mit der Summenquadratmethode (RSS) kombiniert. Das Ergebnis sollte ein kombinierter Unsicherheitswert in Prozent sein. Um den Wert in Volt umzurechnen, multiplizieren Sie den Spannungswert mit dem Unsicherheitswert in Prozent, um den Wert der Spannungsunsicherheit zu ermitteln.
Beachten Sie, dass dieser Prozess weniger Problemlösung erfordert, da wir bereits alle Werte für jede Variable kennen.
Lassen Sie uns den Vorgang noch einmal zusammenfassen.
1. Identifizieren Sie die Gleichung
2. Berechnen Sie die anteilige Unsicherheit für jeden Beitragenden.
3. Berechnen Sie die kombinierte Unsicherheit.
4. Konvertieren Sie das Ergebnis in die gewünschte Maßeinheit.
Mathematische Simulation
Die letzte Methode, die ich Ihnen vorstellen werde, ist die Simulation. Bei dieser Methode simulieren Sie den Ausgabewert einer Gleichung mathematisch, indem Sie verschiedene Werte für die Variable „x“ eingeben.
Diese Methode ist sehr hilfreich, wenn Sie das Ausmaß von Unsicherheitseinflüssen abschätzen möchten, die Sie nicht testen können. Stattdessen können Sie eine mathematische Simulation verwenden, um die Änderung des Messergebnisses abzuschätzen.
Ähnlich wie bei der Ermittlung der Empfindlichkeitskoeffizienten verwenden Sie die angegebenen Werte für Stromstärke und deren Unsicherheit in der folgenden Gleichung, um die Spannungsänderung zu berechnen. Das berechnete Ergebnis ist Ihr neuer Wert für die Stromstärkenunsicherheit in Volt. Wiederholen Sie den Vorgang anschließend für den Widerstand.
Verwenden Sie die angegebenen Werte für Widerstand und dessen Unsicherheit in der folgenden Gleichung, um die Spannungsänderung zu berechnen. Das berechnete Ergebnis ist Ihr neuer Wert für die Widerstandsunsicherheit in Volt.
Nachdem Sie nun die durch die Unsicherheit von Strom und Widerstand verursachten Spannungsänderungen berechnet haben, ist es an der Zeit, die Gleichung der Summe der Quadratwurzeln zu verwenden, um die Unsicherheit zu kombinieren.
Geben Sie die beiden in den beiden vorherigen Gleichungen berechneten Werte ein und berechnen Sie die kombinierte Unsicherheit für die Spannung. Das Ergebnis ist die Unsicherheit unseres Messvorgangs.
Beachten Sie, dass dieser Prozess dem Ermitteln Ihrer Sensitivitätskoeffizienten ähnelt, jedoch die zusätzlichen Schritte zur Berechnung der Sensitivitätskoeffizienten eliminiert. Der Problemlösungsaufwand ist geringer, da wir alle Werte für jede Variable bereits kennen. Im Wesentlichen spart es Ihnen Zeit und verringert das Fehlerrisiko aufgrund der zusätzlichen Berechnungen zur Ermittlung der Sensitivitätskoeffizienten.
Lassen Sie uns den Vorgang noch einmal zusammenfassen.
1. Identifizieren Sie die Gleichung
2. Ändern Sie die Eingabevariablen (x) nacheinander, um die Änderung der Ausgabevariablen (y) zu berechnen.
3. Verwenden Sie die Änderung des Ausgabewerts als Ausmaß des Einflusses Ihrer Unsicherheit.
4. Wiederholen Sie dies für jede Variable.
5. Berechnen Sie die kombinierte Unsicherheit.
Vergleich der Methoden
Um die Methoden, die ich Ihnen gezeigt habe, zu vergleichen, lassen Sie uns die berechneten Ergebnisse, den Schwierigkeitsgrad und die zum Ausführen jeder Methode benötigte Zeit auswerten.
Wenn Sie sich die endgültigen Berechnungen der einzelnen Methoden ansehen, werden Sie feststellen, dass das Ergebnis beider Methoden identisch ist. Dies zeigt Ihnen erstens, dass ich alles richtig berechnet habe. Zweitens gibt es Ihnen die Gewissheit, dass Sie jede dieser Methoden ohne Angst vor zusätzlichen Unsicherheiten im berechneten Ergebnis verwenden können.
Bei der Bewertung des Schwierigkeitsgrades dieser Methoden sollten Sie die Benutzerfreundlichkeit berücksichtigen. Schließlich werden Sie diese Methode selbst anwenden. Wählen Sie daher die Methode, die für Ihre Unsicherheitsanalyse am einfachsten zu handhaben ist. Ich persönlich verwende am liebsten mathematische Simulationen. Ich gehe jedoch davon aus, dass die meisten Leute die Methode der fraktionalen Unsicherheit bevorzugen werden. Sie ist recht einfach anzuwenden!
Wenn Ihnen Ihre Zeit kostbar ist, wählen Sie die Methode, die für Sie am schnellsten zu bewältigen ist. Nach Prüfung aller Methoden bin ich überzeugt, dass die Methode mit fraktionaler Unsicherheit die schnellste ist. Sie erfordert einfach weniger Schritte! Dies könnte auch bedeuten, dass die Methode für Anfänger leicht zu erlernen und anzuwenden sein sollte.
Wenn Sie also ein Anfänger in der Unsicherheitsanalyse sind und Unsicherheitsfaktoren mit unterschiedlichen Maßeinheiten kombinieren müssen, empfehle ich Ihnen, zunächst die Methode der fraktionalen Unsicherheit auszuprobieren.
Nachdem Sie es ausprobiert haben, teilen Sie mir Ihre Meinung im Kommentarbereich unten mit. Ich möchte wissen, welche Methode für Sie am besten funktioniert hat. Auch andere Leser würden gerne wissen, welche Methode Ihnen am besten gefallen hat.
Abschluss
In diesem Artikel habe ich Ihnen drei Methoden zur Kombination von Messunsicherheiten bei unterschiedlichen Maßeinheiten vorgestellt. Zusätzlich habe ich die Anwendung jeder Methode anhand von Anleitungen und Beispielen demonstriert. Darüber hinaus habe ich die drei Methoden bewertet und meine persönlichen Empfehlungen für die bevorzugte Methode gegeben.
Probieren Sie diese Methoden jetzt selbst aus und hinterlassen Sie unten einen Kommentar, welche Methode Sie bevorzugen und warum. Sollten Sie Probleme haben und Hilfe benötigen, stellen Sie Ihre Frage im Kommentarbereich unten. Ich helfe Ihnen gerne weiter und beantworte Ihre Fragen.
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